SumNinja

Einen Vektor strecken oder umkehren

Ca. 3 Min.

Multipliziere beide Teile mit derselben Zahl, um eine Bewegung zu vergrößern oder zu verkleinern. Ein Minuszeichen dreht sie außerdem um.

Eine Bewegung im Spiel geht zwei nach rechts und drei nach unten: (2, −3). Du willst in dieser Richtung doppelt so weit gehen oder auf derselben Linie zurückgehen. Beim Skalieren ändern sich beide Teile zusammen. Die eine Zahl, mit der du multiplizierst, hat einen Namen: Skalar.

Die Umkehrung liegt auf derselben Linie

A ist die ursprüngliche Bewegung. C ist minus zwei mal A: doppelt so lang, in die entgegengesetzte Richtung.

Die Bewegung strecken und dann umkehren

Starte mit der Bewegung (2, −3).

  1. Die Bewegung zweimal ausführen

    2[2−3]=[4−6]2\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-6\end{bmatrix}

    Verdopple beide Teile. Vier nach rechts und sechs nach unten geht doppelt so weit in dieselbe Richtung.

  2. Umkehren und gleichzeitig strecken

    −2[2−3]=[−46]-2\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\6\end{bmatrix}

    Die 2 verdoppelt die Länge. Das Minuszeichen kehrt die Richtung um, also vier nach links und sechs nach oben.

  3. Schau dir an, was 0 bewirkt

    0[2−3]=[00]0\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

    Beide Änderungen werden zu 0, also bleibt die Figur stehen. Der Nullvektor hat keine Richtung.

Ein Bruch kann die ganze Bewegung verkleinern

Die Hälfte von (8, −2) ist (4, −1). Beide Änderungen halbieren sich, also bleibt die Figur auf derselben Linie und geht nur halb so weit. Ein positiver Bruch kleiner als eins verkleinert einen Vektor.

Wenn du nur einen Teil änderst, kann sich auch die Richtung ändern. Bei (2, −3) wird durch das Verdoppeln nur des ersten Teils (4, −3). Das ist eine neue Richtung und keine verdoppelte Kopie der Bewegung.

Der Skalar ist eine einzelne Zahl, aber das Ergebnis bleibt ein Vektor mit zwei Teilen. Das ist anders als beim Skalarprodukt, das zwei Vektoren zu einer Zahl verbindet.

Probiere es selbst

Finde eine Antwort und erkläre deinen Lösungsweg. Schau dir danach die Erklärung an.

Einen Bruch als Skalar verwenden

12[6−4]\frac12\begin{bmatrix}6\\-4\end{bmatrix}

Welcher Vektor ist die Hälfte dieser Bewegung?

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[3−2]\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix}

Wenn du beide Teile halbierst, bleibt die Richtung gleich und die Bewegung wird halb so lang.

Den Faktor überall anwenden

3[25]=[65]  ?3\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\5\end{bmatrix}\;?

Beim angegebenen Ergebnis wurde nur ein Teil geändert. Wie lautet die richtige vollständige Bewegung?

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[615]\begin{bmatrix}6\\15\end{bmatrix}

Multipliziere auch den zweiten Teil mit drei, dann wird aus 5 die 15.

Wähle die Skalierung selbst

[2−3]⟶[−69]\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}\quad\longrightarrow\quad\begin{bmatrix}-6\\9\end{bmatrix}

Mit welchem einzelnen Skalar ändern sich beide Teile so?

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−3-3

Beide Teile werden mit minus drei multipliziert. Das Ergebnis geht dreimal so weit in die entgegengesetzte Richtung.

Neue Bewegungen vergrößern, verkleinern und umkehren

Im Spiel werden für die Skalierung jeder Bewegung ganze Zahlen verwendet, auch mit Minuszeichen. Die Beispiele mit Brüchen werden noch nicht abgefragt.

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Vektorskalierung ausprobieren