Erkenne Wachstum, das sich in jedem Schritt vervielfacht
Immer denselben Betrag zu addieren und immer mit demselben Faktor zu multiplizieren, kann zuerst ähnlich aussehen. Ein dritter Wert zeigt oft den Unterschied.
Ein Gartenmodell beginnt mit 3 Pflanzen und verdoppelt die Anzahl in jeder Saison: 3, 6, 12, 24. Ein Modell, das immer drei addiert, beginnt mit 3, 6, 9, 12. Die ersten beiden Anzahlen sind gleich. Erst die dritte zeigt, ob die Regel addiert oder multipliziert.
Aus Verdoppeln eine Regel machen
x steht für die Anzahl der Saisons und y für die Anzahl der Pflanzen. Bestimme die Anzahl nach zwei Saisons.
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Den Anfang festhalten
Hier zählt x die Saisons und y die Pflanzen. Bevor sich etwas verdoppelt, bleibt die Anzahl bei drei. Für null Schritte schreiben wir 2⁰ = 1.
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Die Potenz als wiederholte Faktoren lesen
Der Exponent ist die kleine hochgestellte Zahl. Hier gibt er an, wie oft der Faktor zwei vorkommt. Er bedeutet nicht zwei mal die Anzahl der Saisons.
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Noch eine Saison prüfen
Verdopple zwölf und du erhältst vierundzwanzig. Der dazugefügte Betrag wächst, aber der Multiplikationsfaktor bleibt zwei.
Derselbe Faktor sorgt für immer größere Sprünge
Die Anzahl beginnt bei drei. Nach einer Saison sind es sechs, nach zwei zwölf. Der Graph ist gekrümmt, weil der dazugefügte Betrag wächst.
Das Muster mit der Kurve verbinden
Ein fester Faktor bei gleichen Schritten kennzeichnet exponentielles Wachstum. Ein fester Zuwachs kennzeichnet eine lineare Regel. Prüfe lieber drei Werte statt nur zwei, wenn beide Muster möglich wirken.
Im Graphen stehen die Saisons unten auf der waagerechten Achse und die Pflanzenanzahl an der Seite. Weil der dazugefügte Betrag wächst, wird die Kurve immer steiler. Die Anzahlen für ganze Saisons liefern klare Punkte zum Prüfen.
Die glatte Kurve zeigt die Regel auch zwischen diesen Punkten. Dort muss sie keine ganzen Pflanzen zählen. Echte Pflanzen können sich nicht unbegrenzt verdoppeln: Irgendwann gehen Platz und Nahrung aus. Das hier ist ein Modell für ein Muster.
Probiere es selbst
Finde eine Antwort und erkläre deinen Lösungsweg. Schau dir danach die Erklärung an.
Einen anderen Wachstumsfaktor verwenden
Bestimme die Anzahl nach drei Schritten. Erkläre, wie sich diese wiederholte Veränderung vom Addieren von drei unterscheidet.
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Die Werte sind 2, 6, 18 und 54.
Potenzen von geraden Linien unterscheiden
Welche Regel verdoppelt ihr Ergebnis in jedem Schritt? Nutze genug Werte, um die beiden Muster auseinanderzuhalten.
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Die erste ergibt 4, 8, 16. Die zweite ergibt 4, 6, 8, weil sie jedes Mal zwei addiert.
Zwei gleiche Anfänge unterscheiden
Beide ergeben bei null den Wert zwei und bei eins den Wert vier. Was passiert im nächsten Schritt?
Die ersten drei Werte sind zwei, vier und sechs.
Die ersten drei Werte sind zwei, vier und acht.
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Beim Verdoppeln erhältst du bei x = 2 den Wert acht. Dazu passt Graph B. Graph A addiert immer weiter zwei und ergibt deshalb sechs.
Wenn eine zusätzliche Zahl die Kurve verschiebt
Bei y = 2ˣ + 3 addierst du die drei erst nach dem Potenzieren. Für x = 0, 1 und 2 erhältst du 4, 5 und 7. Diese Gesamtwerte verdoppeln sich nicht. Berechne Punkte immer mit der vollständigen Regel, wenn sie eine zusätzliche Verschiebung enthält.
Bei y = −2ˣ ändert das Minuszeichen das Vorzeichen jeder Höhe. Die Kurve liegt unter null. Es macht die Basis nicht negativ.
Teste das Wachstumsmuster
Ordne Regeln den Graphen zu. Prüfe den Anfang und ein paar spätere Werte. Nimm jeden zusätzlichen Faktor oder addierten Wert in die vollständige Regel auf.
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