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Eine quadratische Regel und ihren Graphen erkennen

Ca. 3 Min.

Eine quadratische Regel hat auf beiden Seiten ihrer Mitte passende Höhen. Nutze dieses Muster und den Wendepunkt, um den Graphen zu prüfen.

Eine Spielkarte beschreibt ein Tal mit y = x² − 1. Dabei gibt x die Position von links nach rechts an und y die Höhe. Die kleine 2 bedeutet x mal x. Finde den tiefsten Punkt und prüfe dann ein passendes Paar von Höhen, um den richtigen Graphen auszuwählen.

Finde den Talboden und zwei passende Seiten

Lies den Graphen von y = x² − 1 ab.

  1. Prüfe die Mitte dieses Tals

    x=0⇒y=02−1=−1x=0\Rightarrow y=0^2-1=-1

    Beim Quadrieren entsteht nie ein negatives Ergebnis. 0 ergibt das kleinste Quadrat, deshalb erreicht dieses Tal seinen Tiefpunkt bei (0, −1).

  2. Gehe zwei Einheiten nach links oder rechts

    22−1=3;(−2)2−1=32^2-1=3;\quad(-2)^2-1=3

    Sowohl zwei mal zwei als auch minus zwei mal minus zwei ergibt vier. Zieht man davon eins ab, bekommt man auf beiden Seiten dieselbe Höhe.

  3. Prüfe die ganze Form

    (−2,3),(0,−1),(2,3)(-2,3),\quad(0,-1),\quad(2,3)

    Die Kurve fällt zum Tiefpunkt hin und steigt dann wieder von ihm weg. Mit diesen drei Punkten kannst du eine Kurve mit der falschen Höhe ausschließen.

Ein Tiefpunkt, zwei passende Seiten

Das Tal erreicht in seiner Mitte die Höhe minus eins. Zwei Einheiten links oder rechts davon ist seine Höhe drei.

Was macht die Regel quadratisch?

Eine quadratische Regel hat x² als höchste Potenz von x. Der Graph ist eine Parabel: eine Form mit zwei passenden Seiten und einem Wendepunkt. Sie kann sich wie ein Tal nach oben öffnen oder wie ein Bogen nach unten.

Bei y = 2x² − 1 verdoppelst du erst das Quadrat und ziehst dann eins ab. Die Seiten steigen schneller an. Bei y = −x² + 3 dreht das Minus den quadratischen Teil nach unten. Der höchste Punkt ist (0, 3).

In diesen Beispielen liegt der Wendepunkt bei x = 0. Andere quadratische Regeln können ihn nach links oder rechts verschieben. Rechne mit der ganzen Regel, statt dich nur auf eine U-Form zu verlassen.

Probiere es selbst

Finde eine Antwort und erkläre deinen Lösungsweg. Schau dir danach die Erklärung an.

Einen Punkt berechnen

y=2x2+1,x=−2y=2x^2+1,\qquad x=-2

Wo liegt dieser Graph, wenn x minus zwei ist?

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2⋅(−2)2+1=92\cdot(-2)^2+1=9

Quadriere −2 und du bekommst 4. Multipliziere das mit 2 und addiere dann 1.

Lass die Subtraktion außerhalb des Quadrats

22−1=(2−1)2  ?2^2-1=(2-1)^2\;?

Rechne die Höhe mit der tatsächlichen Regel aus. Warum ändern die zusätzlichen Klammern das Ergebnis?

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22−1=3≠(2−1)22^2-1=3\ne(2-1)^2

Die Regel quadriert x, bevor 1 abgezogen wird. Durch die Klammern entsteht eine neue Regel.

Wähle einen Bogen statt eines Tals

y=−x2+3y=-x^2+3

Beide schneiden die Seitenachse bei drei. Welcher hat die richtige Form und die richtige Höhe bei x = 2?

Graph A

Sein tiefster Punkt ist (0, 3). Bei zwei ist die Höhe sieben.

Graph B

Sein höchster Punkt ist (0, 3). Bei zwei ist die Höhe minus eins.

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Graph B\text{Graph B}

Das Minus sorgt dafür, dass sich die Kurve nach unten öffnet. Bei x = 2 ergibt die Regel minus eins. Graph B passt zu beiden Hinweisen.

Prüfe den Wendepunkt und noch einen Punkt

Ordne quadratische Regeln ihren Graphen zu. Prüfe, ob sich die Kurve nach oben oder unten öffnet, wo ihr Wendepunkt liegt und einen berechneten Punkt.

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