Mit Logarithmen den fehlenden Exponenten finden
Ein Logarithmus findet einen fehlenden Exponenten. Vier Verdopplungen machen aus einem Punkt sechzehn, also gilt log₂(16) = 4.
Ein Spielstand beginnt bei eins und verdoppelt sich nach jeder Runde. Du weißt, dass er sechzehn erreicht hat. Um die Anzahl der Runden zu finden, gehst du von diesem Spielstand rückwärts. Genau das macht ein Logarithmus. Die kleine 2 in log₂ sagt dir, dass du mit Zweierpotenzen arbeitest.
Die Anzahl der Verdopplungsrunden bestimmen
log₂(16) = ? → 2^? = 16
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Die Schreibweise übersetzen
Die Basis ist der Faktor, den du immer wieder verwendest. Bei Basis zwei fragst du dich, welche Zweierpotenz sechzehn ergibt.
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Die Verdopplungsschritte zählen
Es gibt vier Veränderungen, ausgehend von eins. Der Startwert zählt nicht als Verdopplungsrunde.
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Mit der Potenz prüfen
Vier Faktoren mit der 2 ergeben den Spielstand wieder. Ein Logarithmus liefert diesen Exponenten zurück, also die fehlende Potenz.
Der Zielwert geht nach rechts, die Runden nach oben
Ein Punkt braucht null Runden, zwei brauchen eine, vier brauchen zwei und acht brauchen drei. Wenn sich der Zielwert verdoppelt, steigt die Höhe um eins.
Aus derselben Frage einen Graphen machen
Für y = log₂(x) ist x der Zielwert und y die benötigte Rundenzahl. Ein Spielstand von acht braucht drei Runden, also ist (8, 3) ein Punkt auf dem Graphen.
Die Spielstände 1, 2, 4 und 8 ergeben die Rundenzahlen 0, 1, 2 und 3. Jede Verdopplung verschiebt die Höhe um eins nach oben. Die Abstände zwischen den Spielständen werden größer, deshalb steigt die Kurve langsamer.
Eine Zweierpotenz bleibt immer über null. Sie kann nicht null oder einen negativen Zielwert ergeben, deshalb braucht dieser Graph x über null. Ein halber Punkt bedeutet, einen Verdopplungsschritt rückwärts zu gehen: 2⁻¹ = 1/2, also gilt log₂(1/2) = −1.
Die Basis ändern, nicht die Bedeutung
Bei Basis drei verdreifacht jeder Schritt den Startwert. Da 3² = 9, gilt log₃(9) = 2. Die Aufgabe bleibt dieselbe: den Exponenten zurückfinden. Du kannst auch einen Zielwert zwischen bekannten Potenzen einordnen, ohne seinen genauen Wert zu berechnen.
Probiere es selbst
Finde eine Antwort und erkläre deinen Lösungsweg. Schau dir danach die Erklärung an.
Den Zielwert ändern
Wie viele Verdopplungsrunden braucht man, um von eins zu diesem Zielwert zu kommen?
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2⁵ = 32, also ist der fehlende Exponent 5.
Eine andere Basis lesen
Welche Dreierpotenz erreicht den Zielwert? Prüfe es, indem du zurückmultiplizierst.
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3 × 3 × 3 × 3 = 81.
Zwischen bekannten Potenzen schätzen
Nutze die Potenzen direkt unter und über zwölf, um den fehlenden Exponenten einzuordnen.
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Da 2³ = 8 und 2⁴ = 16, liegt der Exponent, der zwölf ergibt, zwischen drei und vier.
Den Graphen für Runden aus Spielstand auswählen
Welcher Graph liefert die richtige Rundenzahl, wenn der Zielwert eins ist?
Bei den Spielständen eins, zwei und vier sind die Höhen null, eins und zwei.
Bei den Spielständen eins, zwei und vier sind die Höhen zwei, drei und vier.
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Ein Spielstand von eins braucht null Verdopplungsrunden. Graph A enthält (1, 0). Bei Graph B ist jede Höhe um zwei größer.
Warum eine logarithmische Skala helfen kann
Eine gewöhnliche Skala verwendet gleiche Abstände für gleiche Schritte beim Addieren: eins, zwei, drei, vier. Eine Logarithmusskala zur Basis zwei verwendet gleiche Abstände für Verdopplungen: eins, zwei, vier, acht. So kann ein kleiner Bereich sehr große Veränderungen zeigen.
Eine logarithmische Skala verändert die Abstände auf einer Achse. Der Graph oben zeichnet stattdessen einen Logarithmus auf gewöhnlichen Achsen. Die Ideen hängen zusammen, aber es ist nicht dieselbe Darstellung.
Einen verschobenen oder gespiegelten Logarithmus-Graphen lesen
Eine Zahl vor dem Logarithmus multipliziert sein Ergebnis. In y = 2log₂(x) ergibt x = 4 den Wert 2 × 2 = 4.
In y = log₂(x) + 2 addierst du zu jeder Höhe zwei dazu. Daher gilt für x = 1: y = 2. Ein Minuszeichen vor dem Logarithmus dreht die Kurve nach unten. Prüfe vor dem Auswählen eine bekannte Potenz in der vollständigen Regel.
Probiere die Verbindung zum Graphen aus
Im Spiel ordnest du Logarithmus-Regeln den passenden Graphen zu. Nimm einen Zielwert, der eine Potenz ist, die du kennst, und prüfe dann seine Höhe. Berücksichtige dabei alle Änderungen in der vollständigen Regel.
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