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Sinus und Kosinus mit einem Kreis verstehen

Ca. 4 Min.

Der Sinus beschreibt die Höhe eines Punkts auf einem Kreis. Der Kosinus beschreibt seinen Links-rechts-Wert. Trägst du diese Werte über eine Umdrehung auf, entstehen zwei Wellen.

Ein Spielllicht kreist im Kreis. Du möchtest seine Höhe verfolgen und die beiden Wellengrafen unterscheiden. Der Kreis unten misst vom Mittelpunkt bis zum Rand eine Einheit. Die Höhe seiner Spitze ist der Sinus, sein Links-rechts-Wert ist der Kosinus. Wenn du den Zeiger drehst, ändern sich beide gleichzeitig.

Koordinaten auf dem Einheitskreis Der Radius ist eins. Rechts: 0 Grad, Koordinaten (1, 0). Oben: 90 Grad oder pi halbe, Koordinaten (0, 1). Links: 180 Grad oder pi, Koordinaten (-1, 0). Unten: 270 Grad oder drei pi halbe, Koordinaten (0, -1). Der Kosinus ist die waagerechte Koordinate, der Sinus die senkrechte. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blau zeigt die Bewegung nach links und rechts: Kosinus. Grün zeigt die Höhe: Sinus. Der Radius ist eins. Eine volle Umdrehung sind 360° oder 2π Radiant.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Sinus: durchgezogenes Grün. Kosinus: gestricheltes Blau. Lies den Winkel unten ab und den Wert des Kreises an der Seite.

Verfolge denselben Punkt über eine Umdrehung

Lies das Paar als (Kosinus, Sinus): zuerst links-rechts, dann die Höhe.

  1. Starte ganz rechts

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    Die Spitze liegt eine Einheit rechts vom Mittelpunkt und hat keine Höhe. Starte hier und drehe dann gegen den Uhrzeigersinn.

  2. Drehe ein Viertel nach oben

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    Der seitliche Wert wird null, während die Höhe eins erreicht. Die beiden Wellenmarkierungen zeigen diese Werte beim selben Winkel.

  3. Drehe noch ein Viertel nach links

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Links vom Mittelpunkt bedeutet ein negativer Links-rechts-Wert. Die Höhe ist wieder null. Unten wird die Höhe minus eins.

Sieh, warum die Wellen unterschiedlich starten

Die Wellengrafen tragen den Winkel unten und den Wert vom Kreis an der Seite auf. Bei null startet die grüne Sinuswelle bei null, die gestrichelte blaue Kosinuswelle bei eins.

Nach einer Vierteldrehung erreicht der Sinus eins, während der Kosinus null erreicht. Nutze die Steuerung, um die zwei Kreiswerte den beiden Markierungen zuzuordnen. Nach einer ganzen Umdrehung sind der Punkt und beide Wellen wieder am Anfang.

Der Kreis hat den Radius eins: Seine Entfernung vom Mittelpunkt bis zum Rand ist eins. Deshalb können weder Höhe noch Links-rechts-Wert größer als eins oder kleiner als minus eins werden. Beide Wellen bleiben innerhalb dieser Grenzen.

Lies dieselbe Drehung in Grad oder im Bogenmaß

Grad und Bogenmaß sind zwei Winkeleinheiten. Eine volle Umdrehung sind 360°, oder 2π Radiant. Das Symbol π ist ungefähr 3,14. Eine halbe Umdrehung sind π Radiant, und eine Vierteldrehung ist π/2.

Das Graphenspiel verwendet Radiant. Lies seine Winkelbeschriftungen, bevor du eine Höhe vergleichst. Der Wert auf der Welle ist eine Position vom Kreis, kein weiterer Winkel.

Probiere es selbst

Finde eine Antwort und erkläre deinen Lösungsweg. Schau dir danach die Erklärung an.

Lies den linken Punkt ab

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Welcher Wert gibt die Höhe an und welcher die Links-rechts-Position?

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cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Der Kosinus gibt den Links-rechts-Wert an, −1. Der Sinus gibt die Höhe an, null.

Lies den unteren Punkt ab

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Welche Höhe erreicht das Licht unten auf seinem Kreis?

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−1-1

Der Punkt liegt eine Einheit unter dem Mittelpunkt, also ist sein Sinus −1.

Wähle den Kosinus aus zwei Wellen

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Schau, wo das Licht bei Winkel null startet, und vergleiche dann die Vierteldrehung.

Graph A

Bei null ist der Wert null. Nach einer Vierteldrehung ist er eins.

Graph B

Bei null ist der Wert eins. Nach einer Vierteldrehung ist er null.

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Graph B\text{Graph B}

Der Kosinus startet bei eins und erreicht nach einer Vierteldrehung null. Das passt zu Graph B. Graph A folgt stattdessen der Höhe und ist deshalb der Sinus.

Ändere die Höhe oder Geschwindigkeit einer Welle

In y = 2sin(x) verdoppelst du jede Höhe. Die Welle verläuft von minus zwei bis zwei und wiederholt sich trotzdem nach 2π. Wenn du eins addierst, verschiebt sich die ganze Welle um eins nach oben.

In y = sin(2x) ändert sich der Winkel doppelt so schnell. Eine ganze Welle passt jetzt in π Radiant. Lies Start, Höhe und Wiederholungslänge aus der vollständigen Regel ab.

Ein Minuszeichen davor dreht eine Welle auf den Kopf: y = −sin(x). Ihre Hochpunkte werden zu Tiefpunkten. Prüfe einen bekannten Winkel, um zu sehen, in welche Richtung sie verläuft.

Glaubst du, du kannst die Wellen unterscheiden?

Wähle Fragen zu Sinus- oder Kosinusgraphen. Achte auf den Start, die Höhe und die Wiederholungslänge. Das Spiel verwendet Radiant und kann die Grundwelle strecken oder verschieben.

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