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Warum Tangens-Graphen Lücken haben

Ca. 4 Min.

Der Tangens vergleicht, wie weit eine Richtung nach oben und zur Seite geht. Teile die Höhe durch den Links-rechts-Wert. Bei einer senkrecht nach oben gerichteten Richtung gibt es keine Breite, deshalb hat der Graph dort eine Lücke.

Stell dir vor, du richtest in einem Spiel einen Zeiger aus. Der Kreis unten misst vom Mittelpunkt bis zum Rand eine Einheit. Die Höhe der Spitze ist der Sinus, ihr Links-rechts-Wert ist der Kosinus. Der Tangens teilt die Höhe durch diesen Links-rechts-Wert. Dreh den Zeiger, um zu sehen, warum eine Richtung gerade nach oben Probleme macht.

Koordinaten auf dem Einheitskreis Der Radius ist eins. Rechts: 0 Grad, Koordinaten (1, 0). Oben: 90 Grad oder pi halbe, Koordinaten (0, 1). Links: 180 Grad oder pi, Koordinaten (-1, 0). Unten: 270 Grad oder drei pi halbe, Koordinaten (0, -1). Der Kosinus ist die waagerechte Koordinate, der Sinus die senkrechte. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blau zeigt die Bewegung nach links und rechts: Kosinus. Grün zeigt die Höhe: Sinus. Der Radius ist eins. Eine volle Umdrehung sind 360° oder 2π Radiant.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Verfolge den Zeiger in drei Richtungen

Lies den Tangens als Höhe ÷ seitliche Position.

  1. Waagerecht nach rechts ausrichten

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Die Spitze liegt eine Einheit rechts vom Mittelpunkt und hat keine Höhe. Null geteilt durch eins ergibt null.

  2. Höhe und Breite gleich groß machen

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    Bei 45 Grad sind die beiden Längen gleich groß und beide positiv. Teilt man gleich große Längen, erhält man eins.

  3. Genau nach oben ausrichten

    tan⁡(90∘)=10nicht definiert\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{nicht definiert}

    Ganz oben ist die seitliche Position null. Keine Zahl mal null kann eine Höhe von eins ergeben, deshalb hat diese Division keine Lösung.

Eine senkrechte Richtung erzeugt eine Unterbrechung

Jede Seite einer Lücke gehört zu einem eigenen Teil der Kurve. Zeichne niemals eine Linie über den fehlenden Wert hinweg.

Die Richtung mit dem Graphen verbinden

Der Graph trägt den Winkel unten auf und den Tangens an der Seite. Eine waagerechte Richtung ergibt (0, 0). Bei 45°, also π/4 Radiant, ist der Wert eins.

Wenn sich der Zeiger der senkrechten Richtung nach oben nähert, bleibt seine Höhe nahe bei eins, während seine seitliche Länge kleiner wird. Durch diese winzige Länge zu teilen macht das Ergebnis groß.

Kurz nach der senkrechten Richtung nach oben wird die seitliche Position negativ, während die Höhe positiv bleibt. Das Ergebnis wird negativ. Der Graph besteht aus getrennten Teilen mit einer Lücke dazwischen. Die Lücke selbst ist nicht unendlich.

Die Winkelbeschriftungen lesen

Grad und Radiant messen beide Drehungen. Eine volle Drehung sind 360° oder 2π Radiant. Das Symbol π ist ungefähr 3,14. Eine Vierteldrehung sind 90° oder π/2 Radiant. Das Spiel verwendet Radiant.

Eine halbe Drehung kehrt beide Vorzeichen um, dadurch bleibt das Verhältnis gleich. Deshalb wiederholt sich der Tangens alle 180° oder π Radiant. Seine Lücken liegen bei π/2, dann bei 3π/2 und so weiter.

Probiere es selbst

Finde eine Antwort und erkläre deinen Lösungsweg. Schau dir danach die Erklärung an.

Unter die Waagerechte drehen

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Richte den Zeiger eine Achteldrehung unter die rechte Richtung aus. Welchen Wert hat der Tangens dort?

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−1-1

Der Sinus ist negativ und der Kosinus positiv. Ihre Beträge sind gleich groß, also ist die Antwort −1.

Einen nicht definierten Wert erkennen

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Was passiert mit dem Tangens bei diesem Winkel? Erkläre, warum er nicht null sein kann.

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nicht definiert\text{nicht definiert}

Keine Zahl mal null ergibt eins, also hat 1 ÷ 0 keine Lösung. Das ist weder null noch unendlich.

Wähle einen Graphen mit Unterbrechungen

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Beide gehen durch null. Welcher kann eine senkrechte Richtung ohne definiertes Verhältnis darstellen?

Graph A

Getrennte Teile haben Lücken bei einer Vierteldrehung und dann bei jeder halben Drehung.

Graph B

Eine glatte Welle bleibt ohne Lücken zwischen minus eins und eins.

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Graph A\text{Graph A}

Graph A hat Lücken, wo der Links-rechts-Wert null ist. Graph B bleibt ohne Lücken zwischen minus eins und eins, also kann er nicht der Tangens sein.

Wenn das Spiel den Graphen streckt

In y = 2tan(x) verdoppelst du jede Höhe im Graphen. Die Lücken bleiben an derselben Stelle. Wenn du eine Zahl addierst, verschiebt sich der Graph nach oben oder unten. Ein Minuszeichen spiegelt die Höhen, aber die Winkel der Lücken bleiben gleich.

In y = tan(2x) dreht sich der Zeiger doppelt so schnell. Der Graph wiederholt sich schon nach π/2 statt nach π. Auch seine Lücken rücken näher zusammen. Schau dir die ganze Regel an, bevor du auswählst.

Teste die Idee mit der Lücke

Ordne Tangens-Regeln den Graphen zu. Achte auf einen bekannten Wert, die Lücken und den Abstand, nach dem sich die Form wiederholt. Das Spiel verwendet Radiant.

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