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Multiplica um vetor por um escalar ou inverte o seu sentido

Cerca de 3 min

Multiplica as duas componentes pelo mesmo número para redimensionares um movimento. Um sinal de menos também inverte o seu sentido.

Um movimento num jogo avança duas unidades para a direita e três para baixo: (2, −3). Precisas de avançar o dobro nessa direção ou de regressar pela mesma linha. A multiplicação por um escalar altera as duas componentes em conjunto. O número pelo qual multiplicas chama-se escalar.

O inverso segue a mesma linha

A é o movimento original. C é menos duas vezes A: tem o dobro do comprimento e segue no sentido oposto.

Alonga o movimento e depois inverte-o

Começa com o movimento (2, −3).

  1. Repete o movimento duas vezes

    2[2−3]=[4−6]2\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-6\end{bmatrix}

    Duplica as duas componentes. Quatro unidades para a direita e seis para baixo avançam o dobro na mesma direção.

  2. Inverte e alonga ao mesmo tempo

    −2[2−3]=[−46]-2\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\6\end{bmatrix}

    O valor absoluto dois duplica o comprimento. O sinal de menos inverte o sentido, dando quatro unidades para a esquerda e seis para cima.

  3. Vê o que o zero faz

    0[2−3]=[00]0\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

    As duas variações passam a ser zero, por isso a peça não sai do lugar. O vetor nulo não tem direção.

Uma fração pode encurtar todo o movimento

Metade de (8, −2) é (4, −1). As duas variações ficam reduzidas a metade, por isso a peça se mantém na mesma linha e percorre metade da distância. Uma fração positiva menor do que um encurta um vetor.

Alterar apenas uma componente também pode mudar a direção. Em (2, −3), duplicar apenas a primeira componente dá (4, −3). Essa é uma nova direção, não uma cópia duplicada do movimento.

O escalar é um único número, mas a resposta continua a ser um vetor com duas componentes. Isto é diferente de um produto escalar, que combina dois vetores num único número.

Experimenta

Calcula uma resposta e explica o teu raciocínio. Depois verifica a explicação.

Usa um escalar fracionário

12[6−4]\frac12\begin{bmatrix}6\\-4\end{bmatrix}

Que vetor representa metade deste movimento?

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[3−2]\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix}

Reduzir as duas componentes a metade mantém a mesma direção e torna o movimento duas vezes mais curto.

Aplica o fator a todas as componentes

3[25]=[65]  ?3\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\5\end{bmatrix}\;?

O resultado apresentado altera apenas uma componente. Qual é o movimento completo correto?

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[615]\begin{bmatrix}6\\15\end{bmatrix}

Multiplica também a segunda componente por três, para 5 passar a 15.

Escolhe tu o escalar

[2−3]⟶[−69]\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}\quad\longrightarrow\quad\begin{bmatrix}-6\\9\end{bmatrix}

Que escalar único produz esta alteração nas duas componentes?

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−3-3

As duas componentes são multiplicadas por menos três. O resultado avança três vezes mais no sentido oposto.

Redimensiona e inverte novos movimentos

O jogo usa números inteiros para multiplicar cada movimento por um escalar, incluindo números negativos. Ainda não testa os exemplos com frações.

2 minutos de prática · continua após os erros · abre num novo separador

Experimenta a multiplicação de vetores por escalares