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Deteta o crescimento que multiplica em cada passo

Cerca de 3 min

Somar sempre a mesma quantidade e multiplicar sempre pelo mesmo fator podem parecer semelhantes ao início. Um terceiro valor pode revelar a diferença.

Um modelo de jardim começa com 3 plantas e duplica a quantidade em cada estação: 3, 6, 12, 24. Um modelo que soma três começa com 3, 6, 9, 12. As duas primeiras quantidades são iguais. A terceira mostra se a regra soma ou multiplica.

Transforma a duplicação numa regra

Faz x contar estações e y contar plantas. Calcula a quantidade ao fim de duas estações.

  1. Regista o valor inicial

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Aqui, x conta estações e y conta plantas. Antes de qualquer duplicação, a quantidade mantém-se em três. Escrevemos 2⁰ = 1 para zero passos.

  2. Lê a potência como fatores repetidos

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    O expoente é o pequeno número elevado. Aqui, conta fatores de dois. Não significa duas vezes o número da estação.

  3. Confere mais uma estação

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Duplica doze para obteres vinte e quatro. A quantidade adicionada aumenta, mas o fator de multiplicação mantém-se em dois.

O mesmo fator produz saltos cada vez maiores

A quantidade começa em três. Ao fim de uma estação é seis; ao fim de duas é doze. O gráfico forma uma curva porque a quantidade adicionada aumenta.

Relaciona o padrão com a curva

Um fator fixo em passos iguais indica crescimento exponencial. Um aumento fixo indica uma função afim. Confere três valores em vez de apenas dois, se ambos os padrões parecerem possíveis.

O gráfico coloca as estações no eixo de baixo e o número de plantas no eixo lateral. À medida que a quantidade adicionada aumenta, a curva fica mais inclinada. As quantidades em estações inteiras dão pontos claros para conferir.

A curva suave também mostra a regra entre esses pontos. Aí não tem de contar plantas inteiras. As plantas reais não podem duplicar para sempre: o espaço e os alimentos acabam. Este é um modelo de um padrão.

Experimenta

Calcula uma resposta e explica o teu raciocínio. Depois verifica a explicação.

Usa outro fator de crescimento

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Calcula a quantidade ao fim de três passos. Explica como a alteração repetida difere de somar três.

Mostrar a respostaEsconder a resposta
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

Os valores são 2, 6, 18 e 54.

Distingue potências de retas

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Que regra duplica o resultado em cada passo? Usa valores suficientes para distinguires os dois padrões.

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4⋅2x4\cdot2^x

A primeira dá 4, 8, 16. A segunda dá 4, 6, 8 porque soma dois de cada vez.

Distingue dois inícios iguais

y=2×2xy=2\times2^x

Ambos dão dois em zero e quatro em um. O que acontece no passo seguinte?

Gráfico A

Os três primeiros valores são dois, quatro e seis.

Gráfico B

Os três primeiros valores são dois, quatro e oito.

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Graˊfico B\text{Gráfico B}

A duplicação dá oito em x = 2. O gráfico B corresponde à regra. O gráfico A continua a somar dois, por isso dá seis.

Quando um número adicional desloca a curva

Em y = 2ˣ + 3, soma três depois de calculares a potência. Em x = 0, 1 e 2, obténs 4, 5 e 7. Esses resultados completos não duplicam. Calcula pontos a partir da regra completa quando esta inclui um deslocamento adicional.

Em y = −2ˣ, o sinal de menos altera o sinal de cada altura. A curva fica abaixo de zero. Não torna a base negativa.

Põe à prova o padrão de crescimento

Associa regras a gráficos. Confere o valor inicial e alguns valores posteriores. Inclui qualquer multiplicador ou número adicionado na regra completa.

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