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Encontra a potência em falta com logaritmos

Cerca de 4 min

Um logaritmo encontra uma potência em falta. Quatro rondas a duplicar transformam um ponto em dezasseis, por isso log₂(16) = 4.

A pontuação de um jogo começa em um e duplica depois de cada ronda. Sabes que chegou a dezasseis. Para encontrares o número de rondas, trabalha ao contrário a partir dessa pontuação. É esse o trabalho de um logaritmo. O pequeno 2 em log₂ indica que deves usar potências de dois.

Recupera o número de rondas de duplicação

log₂(16) = ? → 2^? = 16

  1. Traduz a notação

    log⁡2(16)=?⟺2?=16\log_2(16)=?\quad\Longleftrightarrow\quad2^{?}=16

    A base é o fator que usas repetidamente. Com base dois, pergunta que potência de dois dá dezasseis.

  2. Conta os passos de duplicação

    1→2→4→8→161\to2\to4\to8\to16

    Há quatro alterações, começando em um. O valor inicial não conta como uma ronda de duplicação.

  3. Confere calculando a potência

    24=16⇒log⁡2(16)=42^4=16\quad\Rightarrow\quad\log_2(16)=4

    Quatro fatores de dois reconstroem a pontuação. Um logaritmo devolve esse expoente, que é a potência em falta.

A pontuação pretendida fica no eixo horizontal; as rondas ficam no vertical

Um ponto precisa de zero rondas, dois precisam de uma, quatro precisam de duas e oito precisam de três. Duplicar o objetivo aumenta a altura em um.

Constrói um gráfico a partir da mesma pergunta

Em y = log₂(x), faz x representar a pontuação pretendida e y as rondas necessárias. Uma pontuação de oito precisa de três rondas, por isso (8, 3) é um ponto do gráfico.

As pontuações 1, 2, 4 e 8 dão 0, 1, 2 e 3 rondas. Cada duplicação faz a altura subir um. Os intervalos entre pontuações aumentam, por isso a curva sobe mais devagar.

Uma potência de dois é sempre maior do que zero. Não pode dar um objetivo igual a zero ou negativo, por isso este gráfico precisa de x maior do que zero. Meio ponto significa recuar um passo de duplicação: 2⁻¹ = 1/2, por isso log₂(1/2) = −1.

Muda a base, não o significado

Com base três, cada passo triplica o valor inicial. Como 3² = 9, log₃(9) = 2. O trabalho mantém-se: recuperar a potência. Também podes situar um objetivo entre potências conhecidas sem encontrares o seu valor exato.

Experimenta

Calcula uma resposta e explica o teu raciocínio. Depois verifica a explicação.

Muda o objetivo

log⁡2(32)\log_2(32)

Quantas rondas de duplicação são necessárias para chegar a este objetivo a partir de um?

Mostrar a respostaEsconder a resposta
55

2⁵ = 32, por isso a potência em falta é 5.

Lê uma base diferente

log⁡3(81)\log_3(81)

Que potência de três chega ao objetivo? Confere multiplicando de volta.

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44

3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Faz uma estimativa entre potências de referência

log⁡2(12)\log_2(12)

Usa as potências imediatamente abaixo e acima de doze para situares a potência em falta.

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3<log⁡2(12)<43<\log_2(12)<4

Como 2³ = 8 e 2⁴ = 16, a potência que dá doze fica entre três e quatro.

Escolhe o gráfico que mostra as rondas a partir da pontuação

y=log⁡2(x)y=\log_2(x)

Que gráfico dá o número certo de rondas quando a pontuação pretendida é um?

Gráfico A

Nas pontuações um, dois e quatro, as alturas são zero, um e dois.

Gráfico B

Nas pontuações um, dois e quatro, as alturas são dois, três e quatro.

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Graˊfico A\text{Gráfico A}

Uma pontuação de um precisa de zero rondas de duplicação. O gráfico A inclui (1, 0). O gráfico B tem mais dois em todas as alturas.

Porque pode ser útil uma escala logarítmica

Uma escala comum usa intervalos iguais para somas iguais: um, dois, três, quatro. Uma escala logarítmica de base dois usa intervalos iguais para duplicações: um, dois, quatro, oito. Isto permite mostrar alterações muito grandes num espaço pequeno.

Uma escala logarítmica altera o espaçamento de um eixo. O gráfico acima representa antes um logaritmo em eixos comuns. As ideias estão relacionadas, mas não são a mesma imagem.

Lê um gráfico logarítmico deslocado ou invertido

Um número antes do logaritmo multiplica o seu resultado. Em y = 2log₂(x), x = 4 dá 2 × 2 = 4.

Em y = log₂(x) + 2, soma dois a cada altura. Assim, x = 1 dá y = 2. Um sinal de menos antes do logaritmo vira a curva ao contrário. Confere uma potência conhecida na regra completa antes de escolheres.

Experimenta a ligação ao gráfico

O jogo pede-te que associes regras de logaritmos a gráficos. Usa um objetivo que seja uma potência que conheças e depois confere a sua altura. Inclui todas as alterações na regra completa.

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Experimenta perguntas sobre gráficos de funções logarítmicas