SumNinja

Compreende o seno e o cosseno com um círculo

Cerca de 4 min

O seno acompanha a altura de um ponto à volta de um círculo. O cosseno acompanha o seu valor horizontal. Representa esses valores ao longo de uma volta para criares duas ondas.

Uma luz num jogo percorre um círculo. Queres acompanhar a sua altura e distinguir os dois gráficos ondulados. O círculo abaixo mede uma unidade do centro até à borda. A altura da ponta é o seno e o seu valor horizontal é o cosseno. Rodar o ponteiro altera os dois ao mesmo tempo.

Coordenadas numa circunferência trigonométrica Raio um. À direita: 0 graus, coordenadas (1, 0). Em cima: 90 graus ou pi sobre dois, coordenadas (0, 1). À esquerda: 180 graus ou pi, coordenadas (-1, 0). Em baixo: 270 graus ou três pi sobre dois, coordenadas (0, -1). O cosseno é a coordenada horizontal e o seno é a vertical. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
O azul acompanha a posição horizontal: cosseno. O verde acompanha a altura: seno. O raio é um. Uma volta completa é 360°, ou 2π radianos.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Seno: linha verde contínua. Cosseno: linha azul tracejada. Lê o ângulo em baixo e o valor da circunferência ao lado.

Acompanha o mesmo ponto ao longo de uma volta

Lê o par como (cosseno, seno): primeiro a posição horizontal e depois a altura.

  1. Começa no extremo direito

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    A ponta está uma unidade à direita do centro e não tem altura. Começa aqui e depois roda no sentido contrário aos ponteiros do relógio.

  2. Roda um quarto de volta até ao topo

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    O valor horizontal chega a zero enquanto a altura chega a um. Os dois marcadores das ondas mostram estes valores no mesmo ângulo.

  3. Roda mais um quarto de volta até à esquerda

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Estar à esquerda do centro significa ter um valor horizontal negativo. A altura regressa a zero. Na parte inferior, a altura passa a ser menos um.

Percebe porque é que as ondas começam de forma diferente

Os gráficos ondulados colocam o ângulo no eixo de baixo e o valor do círculo no eixo lateral. Em zero, a onda verde do seno começa em zero; a onda azul tracejada do cosseno começa em um.

A um quarto de volta, o seno chega a um enquanto o cosseno chega a zero. Usa o controlo para relacionares os dois valores do círculo com os dois marcadores. Uma volta completa faz o ponto e as duas ondas regressarem ao início.

O círculo tem raio um: a distância do centro à borda é um. Portanto, nem a altura nem o valor horizontal podem ultrapassar um ou menos um. As duas ondas mantêm-se entre esses limites.

Lê a mesma volta em graus ou radianos

Os graus e os radianos são duas unidades angulares. Uma volta completa tem 360°, ou 2π radianos. O símbolo π vale aproximadamente 3,14. Meia volta tem π radianos e um quarto de volta tem π/2.

O jogo de gráficos usa radianos. Lê os rótulos dos ângulos antes de comparares uma altura. O valor na onda é uma posição do círculo, não outro ângulo.

Experimenta

Calcula uma resposta e explica o teu raciocínio. Depois verifica a explicação.

Lê o ponto do lado esquerdo

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Que valor indica a altura e qual indica a posição horizontal?

Mostrar a respostaEsconder a resposta
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

O cosseno dá o valor horizontal, −1. O seno dá a altura, zero.

Lê o ponto inferior

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

A que altura chega a luz na parte inferior do círculo?

Mostrar a respostaEsconder a resposta
−1-1

O ponto fica uma unidade abaixo do centro, por isso o seu seno é −1.

Escolhe o cosseno entre duas ondas

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Confere onde começa a luz no ângulo zero e depois compara o quarto de volta.

Gráfico A

Em zero, o valor é zero. A um quarto de volta, é um.

Gráfico B

Em zero, o valor é um. A um quarto de volta, é zero.

Mostrar a respostaEsconder a resposta
Graˊfico B\text{Gráfico B}

O cosseno começa em um e chega a zero ao fim de um quarto de volta. O gráfico B corresponde. O gráfico A acompanha antes a altura, por isso é o seno.

Altera a altura ou a velocidade de uma onda

Em y = 2sin(x), duplica cada altura. A onda vai de menos dois a dois e continua a repetir-se ao fim de 2π. Somar um desloca toda a onda uma unidade para cima.

Em y = sin(2x), o ângulo muda duas vezes mais depressa. Agora cabe uma onda completa em π radianos. Lê o início, a altura e o período a partir da regra completa.

Um sinal de menos à frente vira a onda ao contrário: y = −sin(x). Os máximos passam a mínimos. Confere um ângulo conhecido para veres em que sentido segue.

Achas que consegues distinguir as ondas?

Escolhe perguntas sobre gráficos de seno ou cosseno. Confere o início, a altura e o período. O jogo usa radianos e pode esticar ou deslocar a onda básica.

2 minutos de prática · continua após os erros · abre num novo separador

Experimenta gráficos de seno Experimenta gráficos de cosseno