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Porque é que os gráficos da tangente têm interrupções

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A tangente compara quanto uma direção sobe e avança na horizontal. Divide a altura pelo valor horizontal. Uma direção vertical não tem largura, por isso o seu gráfico tem uma interrupção.

Imagina que apontas um ponteiro num jogo. O círculo abaixo mede uma unidade do centro à borda. A altura da ponta é o seno; o seu valor horizontal é o cosseno. A tangente divide a altura por esse valor horizontal. Roda o ponteiro para perceberes porque é problemático apontar na vertical.

Coordenadas numa circunferência trigonométrica Raio um. À direita: 0 graus, coordenadas (1, 0). Em cima: 90 graus ou pi sobre dois, coordenadas (0, 1). À esquerda: 180 graus ou pi, coordenadas (-1, 0). Em baixo: 270 graus ou três pi sobre dois, coordenadas (0, -1). O cosseno é a coordenada horizontal e o seno é a vertical. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
O azul acompanha a posição horizontal: cosseno. O verde acompanha a altura: seno. O raio é um. Uma volta completa é 360°, ou 2π radianos.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Acompanha o ponteiro em três direções

Lê a tangente como altura ÷ posição horizontal.

  1. Aponta horizontalmente para a direita

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    A ponta fica uma unidade à direita do centro, sem altura. Zero dividido por um dá zero.

  2. Dá o mesmo tamanho à altura e à largura

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    A 45 graus, os dois comprimentos são iguais e positivos. Dividir comprimentos iguais dá um.

  3. Aponta na vertical para cima

    tan⁡(90∘)=10na˜o definida\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{não definida}

    No topo, a posição horizontal é zero. Nenhum número multiplicado por zero pode dar uma altura de um, por isso esta divisão não tem resposta.

Uma direção vertical cria uma interrupção

Cada lado de uma interrupção pertence a um ramo diferente da curva. Nunca traces uma linha sobre o valor em falta.

Relaciona a direção com o gráfico

O gráfico coloca o ângulo no eixo de baixo e a tangente no eixo lateral. Uma direção horizontal dá (0, 0). A 45°, ou π/4 radianos, o valor é um.

À medida que o ponteiro se aproxima da vertical, a altura mantém-se perto de um enquanto o comprimento horizontal diminui. Dividir por esse comprimento minúsculo torna o resultado grande.

Logo depois de passar a vertical, a posição horizontal torna-se negativa enquanto a altura se mantém positiva. O resultado torna-se negativo. O gráfico tem ramos separados por uma interrupção. A interrupção em si não é o infinito.

Lê os rótulos dos ângulos

Tanto os graus como os radianos medem voltas. Uma volta completa tem 360°, ou 2π radianos. O símbolo π vale aproximadamente 3,14. Um quarto de volta tem 90°, ou π/2 radianos. O jogo usa radianos.

Meia volta inverte os dois sinais, o que mantém a razão igual. Por isso, a tangente repete-se a cada 180°, ou π radianos. As suas interrupções ficam em π/2, depois em 3π/2, e assim por diante.

Experimenta

Calcula uma resposta e explica o teu raciocínio. Depois verifica a explicação.

Roda para baixo da horizontal

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Aponta um oitavo de volta abaixo da direção para a direita. Que valor tem aí a tangente?

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−1-1

O seno é negativo e o cosseno é positivo. Os seus valores absolutos são iguais, por isso a resposta é −1.

Identifica um valor não definido

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

O que acontece à tangente neste ângulo? Explica porque não pode ser zero.

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na˜o definida\text{não definida}

Nenhum número multiplicado por zero dá um, por isso 1 ÷ 0 não tem resposta. Não é zero nem infinito.

Escolhe um gráfico que pode ter interrupções

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Ambos passam por zero. Qual deles pode representar uma direção vertical sem uma razão definida?

Gráfico A

Os ramos separados têm interrupções a um quarto de volta e depois a cada meia volta.

Gráfico B

Uma onda suave mantém-se entre menos um e um, sem interrupções.

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Graˊfico A\text{Gráfico A}

O gráfico A tem interrupções onde o valor horizontal é zero. O gráfico B fica entre menos um e um sem interrupções, por isso não pode ser a tangente.

Quando o jogo estica o gráfico

Em y = 2tan(x), duplica cada altura no gráfico. As interrupções ficam no mesmo lugar. Somar um número desloca o gráfico para cima ou para baixo. Um sinal de menos inverte as alturas, mas mantém iguais os ângulos das interrupções.

Em y = tan(2x), o ponteiro roda duas vezes mais depressa. O gráfico repete-se ao fim de π/2 em vez de π. As suas interrupções também ficam mais próximas. Confere a regra completa antes de escolheres.

Põe à prova a ideia das interrupções

Associa regras da tangente a gráficos. Procura um valor conhecido, as interrupções e a distância antes de a forma se repetir. O jogo usa radianos.

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Experimenta perguntas sobre gráficos da tangente