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매 단계에서 곱해지는 증가 알아보기

약 3분

같은 양을 더하는 규칙과 같은 배수를 곱하는 규칙은 처음에는 비슷해 보일 수 있습니다. 세 번째 값으로 차이를 알아낼 수 있습니다.

정원 모형이 식물 3개에서 시작해 계절마다 개수가 2배가 된다고 해 보세요. 3, 6, 12, 24가 됩니다. 3씩 더하는 모형은 3, 6, 9, 12가 됩니다. 처음 두 개수는 같지만 세 번째 개수를 보면 더하는 규칙인지 곱하는 규칙인지 알 수 있습니다.

2배가 되는 규칙을 함수로 나타내기

x는 계절 수, y는 식물 수라고 하세요. 두 계절 뒤의 개수를 구하세요.

  1. 시작값 기록하기

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    여기서 x는 계절 수이고 y는 식물 수입니다. 아직 2배가 되기 전에는 개수가 3입니다. 0단계이므로 2⁰ = 1이라고 씁니다.

  2. 거듭제곱을 반복해서 곱하는 수로 읽기

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    지수는 작게 위로 올라간 수입니다. 여기서는 2를 몇 번 곱하는지 셉니다. 계절 수에 2를 곱한다는 뜻이 아닙니다.

  3. 한 계절 더 확인하기

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    12를 2배 하면 24입니다. 더해지는 양은 커지지만 곱하는 배수는 계속 2입니다.

같은 배수로 점점 커지는 증가량

개수는 3에서 시작합니다. 한 계절 뒤에는 6이고 두 계절 뒤에는 12입니다. 더해지는 양이 커지므로 그래프는 곡선이 됩니다.

수의 규칙을 곡선과 연결하기

같은 간격마다 일정한 배수를 곱하면 지수 증가입니다. 일정한 양이 늘어나면 일차함수입니다. 두 규칙이 모두 가능해 보인다면 두 값만 보지 말고 세 값을 확인하세요.

그래프의 아래쪽에는 계절 수가, 세로축에는 식물 수가 놓입니다. 더해지는 양이 커질수록 곡선은 더 가파르게 올라갑니다. 계절이 자연수일 때의 개수는 확인하기 좋은 점이 됩니다.

매끄러운 곡선은 그 점들 사이에서도 함수의 값을 보여 줍니다. 그 사이에서는 식물 수가 자연수가 아닐 수도 있습니다. 실제 식물은 공간과 먹이가 부족해지므로 영원히 2배가 될 수 없습니다. 이것은 어떤 규칙을 나타내는 모형입니다.

직접 해보기

먼저 답을 구하고 풀이를 설명해 보세요. 그런 다음 해설을 확인하세요.

다른 증가 배수 사용하기

y=2⋅33y=2\cdot3^3

세 단계 뒤의 개수를 구하세요. 이 반복 변화가 매번 3을 더하는 것과 어떻게 다른지 설명하세요.

정답 보기정답 숨기기
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

값은 2, 6, 18, 54입니다.

거듭제곱과 직선 구별하기

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

한 단계마다 결과가 2배가 되는 함수는 어느 것인가요? 두 규칙을 구별할 수 있을 만큼 값을 구하세요.

정답 보기정답 숨기기
4⋅2x4\cdot2^x

첫 번째 함수의 값은 4, 8, 16입니다. 두 번째 함수는 매번 2를 더하므로 4, 6, 8입니다.

시작이 같은 두 그래프 구별하기

y=2×2xy=2\times2^x

두 그래프 모두 x가 0일 때 2이고 x가 1일 때 4입니다. 다음 단계에는 어떻게 되나요?

그래프 A

처음 세 값은 2, 4, 6입니다.

그래프 B

처음 세 값은 2, 4, 8입니다.

정답 보기정답 숨기기
그래프 B\text{그래프 B}

2배가 되면 x = 2일 때 8입니다. 그래프 B가 맞습니다. 그래프 A는 계속 2를 더하므로 6이 됩니다.

추가된 수로 곡선이 이동할 때

y = 2ˣ + 3에서는 거듭제곱을 계산한 뒤 3을 더하세요. x가 0, 1, 2일 때 값은 4, 5, 7입니다. 이 최종 결과들은 2배가 되지 않습니다. 추가로 이동한 함수에서는 전체 함수로 점을 계산하세요.

y = −2ˣ에서는 음수 부호가 각 높이의 부호를 바꿉니다. 곡선은 0 아래에 놓입니다. 밑이 음수가 되는 것은 아닙니다.

증가 규칙 확인하기

함수와 그래프를 짝지으세요. 시작값과 그 뒤의 몇 가지 값을 확인하세요. 함수에 추가로 곱하거나 더하는 수가 있다면 전체 함수에 포함하세요.

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