SumNinja

이차함수와 그 곡선 알아보기

약 3분

제곱을 이용한 함수는 가운데의 양쪽에서 같은 높이를 만듭니다. 이 규칙과 방향이 바뀌는 점을 이용해 그래프를 확인하세요.

게임 지도에서 y = x² − 1인 골짜기를 나타낸다고 해 보세요. 여기서 x는 좌우 위치, y는 높이를 나타냅니다. 작게 올라간 2는 x를 자기 자신과 곱한다는 뜻입니다. 가장 낮은 점을 찾은 다음, 높이가 같은 두 점을 확인해 알맞은 그래프를 고르세요.

골짜기 바닥과 높이가 같은 두 점 찾기

y = x² − 1의 그래프를 읽으세요.

  1. 이 골짜기의 가운데 확인하기

    x=0⇒y=02−1=−1x=0\Rightarrow y=0^2-1=-1

    제곱한 결과는 음수가 될 수 없습니다. 0을 제곱한 값이 가장 작으므로 이 골짜기의 바닥은 (0, −1)입니다.

  2. 양쪽으로 2만큼 이동하기

    22−1=3;(−2)2−1=32^2-1=3;\quad(-2)^2-1=3

    2 × 2도 4이고, −2 × −2도 4입니다. 1을 빼면 양쪽의 높이가 같습니다.

  3. 전체 모양 확인하기

    (−2,3),(0,−1),(2,3)(-2,3),\quad(0,-1),\quad(2,3)

    곡선은 바닥을 향해 내려갔다가 바닥에서 멀어지며 다시 올라갑니다. 이 세 점을 이용하면 높이가 틀린 곡선을 제외할 수 있습니다.

하나의 바닥과 서로 같은 양쪽

골짜기는 가운데에서 높이 −1에 닿습니다. 왼쪽이나 오른쪽으로 2만큼 떨어진 곳에서는 높이가 3입니다.

이 함수를 이차함수로 만드는 것은 무엇인가요?

이차함수는 x의 가장 높은 차수가 x²인 함수입니다. 그 곡선은 양쪽 모양이 서로 같고 방향이 한 번 바뀌는 포물선입니다. 골짜기처럼 위로 열리거나 아치처럼 아래로 열릴 수 있습니다.

y = 2x² − 1에서는 제곱한 값을 2배 한 뒤 1을 뺍니다. 양쪽이 더 빠르게 올라갑니다. y = −x² + 3에서는 음수 부호가 제곱 부분을 아래로 뒤집습니다. 가장 높은 점은 (0, 3)입니다.

이 예시들은 꼭짓점이 x = 0에 있습니다. 다른 이차함수는 꼭짓점이 왼쪽이나 오른쪽으로 이동할 수 있습니다. U자 모양만 믿지 말고 전체 함수로 계산하세요.

직접 해보기

먼저 답을 구하고 풀이를 설명해 보세요. 그런 다음 해설을 확인하세요.

한 점 계산하기

y=2x2+1,x=−2y=2x^2+1,\qquad x=-2

x가 −2일 때 이 그래프의 높이는 얼마인가요?

정답 보기정답 숨기기
2⋅(−2)2+1=92\cdot(-2)^2+1=9

−2를 제곱하면 4입니다. 4에 2를 곱한 다음 1을 더하세요.

뺄셈을 제곱 바깥에 두기

22−1=(2−1)2  ?2^2-1=(2-1)^2\;?

실제 함수로 높이를 계산하세요. 괄호를 더하면 결과가 달라지는 이유는 무엇인가요?

정답 보기정답 숨기기
22−1=3≠(2−1)22^2-1=3\ne(2-1)^2

이 함수는 x를 먼저 제곱한 다음 1을 뺍니다. 괄호를 넣으면 새로운 함수가 됩니다.

골짜기 대신 아치 고르기

y=−x2+3y=-x^2+3

두 그래프 모두 세로축의 3에서 만납니다. 모양과 x = 2일 때의 높이가 알맞은 것은 어느 것인가요?

그래프 A

가장 낮은 점은 (0, 3)입니다. x가 2일 때 높이는 7입니다.

그래프 B

가장 높은 점은 (0, 3)입니다. x가 2일 때 높이는 −1입니다.

정답 보기정답 숨기기
그래프 B\text{그래프 B}

음수 부호 때문에 곡선은 아래로 열립니다. x = 2일 때 함수의 값은 −1입니다. 그래프 B는 두 단서에 모두 맞습니다.

꼭짓점과 다른 한 점 확인하기

제곱을 이용한 함수를 그래프와 짝지으세요. 곡선이 위로 열리는지 아래로 열리는지, 꼭짓점이 어디인지, 계산한 다른 한 점이 어디인지 확인하세요.

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이차함수 그래프 문제 풀기