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Mit einem Skalarprodukt Richtungen vergleichen

Ca. 3 Min.

Ein Skalarprodukt ergibt genau eine Zahl. Ihr Vorzeichen zeigt, ob ein Ziel vor, seitlich von oder hinter einer Blickrichtung liegt.

Eine Spielfigur schaut entlang von (2, 1): zwei nach rechts und eins nach oben. Ein Ziel liegt von ihr aus bei (−1, 3): eins nach links und drei nach oben. Ist das vor ihr oder hinter ihr? Ein Skalarprodukt macht aus den beiden Vektoren eine Zahl, deren Vorzeichen diese Frage beantwortet.

Das Ziel mit der Blickrichtung vergleichen

Bestimme das Skalarprodukt von (2, 1) und (−1, 3).

  1. Die passenden Komponenten multiplizieren

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    Der nach links gerichtete Anteil des Ziels zählt gegen den nach rechts gerichteten Anteil der Blickrichtung. Sein nach oben gerichteter Anteil zählt mit dem nach oben gerichteten Anteil der Blickrichtung.

  2. Die beiden Beiträge addieren

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Drei wiegt mehr als minus zwei, also bleibt ein positives Ergebnis. Das Resultat ist ein Skalar: eine einzelne Zahl, nicht das Paar (−2, 3).

  3. Die Richtungsfrage beantworten

    1>0⇒vorne1>0\quad\Rightarrow\quad\text{vorne}

    Das Ziel liegt auf der Vorwärtsseite der Blickrichtung. Vorn heißt nicht, dass es direkt auf derselben Linie liegt.

Das Ziel liegt auf dem Bildschirm links, aber vor A

A gibt die Blickrichtung an, B das Ziel. Die schattierte Hälfte liegt vor A. Die gestrichelte Grenze markiert einen rechten Winkel zu A.

Die Vorwärtsseite im Bild erkennen

Die Grenze verläuft durch die Figur und steht im rechten Winkel zu ihrer Blickrichtung. Ein Ziel auf dieser Linie hat keinen Vorwärtsanteil. Ziele jenseits dieser Linie liegen entweder auf der Seite vorn oder auf der Seite hinten.

Bei zwei Vektoren ungleich null bedeutet ein positives Skalarprodukt einen Winkel unter 90°. Ein negatives Ergebnis bedeutet einen Winkel über 90°. Null bedeutet einen rechten Winkel, also senkrecht.

Das Vorzeichen ist also ein nützlicher Test, auch wenn das Ziel auf dem Bildschirm links liegt. Vergleiche mit der Blickrichtung, nicht nur links gegen rechts.

Probiere es selbst

Finde eine Antwort und erkläre deinen Lösungsweg. Schau dir danach die Erklärung an.

Einen rechten Winkel erkennen

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Berechne das Ergebnis als einzelne Zahl. Welche Winkelbeziehung zeigt ihr Vorzeichen?

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00

Die Ergebnisse 2 und −2 ergeben zusammen null, also treffen diese Vektoren ungleich null im rechten Winkel aufeinander.

Eine einzelne Zahl herausbekommen

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Finde die einzelne Zahl statt eines Paars. Erkläre, warum die beiden Produkte zusammengezählt werden müssen.

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55

Rechne −1 × 3 + 2 × 4 aus. Das ergibt −3 + 8 = 5.

Das Ergebnis für eine Spielentscheidung nutzen

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Liegt das Ziel vor, hinter oder genau seitlich zu dieser Blickrichtung?

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hinten\text{hinten}

Das Skalarprodukt ist minus zwei. Wenn die Blickrichtung nach rechts zeigt, zählt die links liegende Position des Ziels als hinten. Sein nach oben gerichteter Anteil ändert dieses Vorzeichen nicht.

Warum ein großer Wert nicht automatisch einen kleineren Winkel bedeutet

Der Winkel bleibt gleich, wenn du einen Vektor verdoppelst, aber das Skalarprodukt verdoppelt sich. Der Wert hängt also von beiden Längen ab. Ein Einheitsvektor hat die Länge eins. Nutze Einheitsvektoren, um den Längeneffekt herauszunehmen.

Ein Nullvektor ergibt mit jedem Vektor ein Skalarprodukt von null. Er hat aber keine Richtung, deshalb zeigt dieser Fall keinen rechten Winkel. Die Winkelregel braucht zwei Vektoren ungleich null.

Probiere die Rechnung hinter dem Richtungstest aus

Im Spiel geht es um Skalarprodukte von kleinen ganzzahligen Vektoren. Gib eine einzelne Zahl an. Nutze ihr Vorzeichen, um über die Richtung nachzudenken, auch wenn im Spiel nach der Rechnung gefragt wird.

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