SumNinja

Розпізнавай зростання з множенням на кожному кроці

Приблизно 3 хв

Додавання тієї самої величини й множення на той самий множник спочатку можуть здаватися схожими. Третє значення допоможе побачити різницю.

У моделі саду спочатку є 3 рослини, і щосезону їхня кількість подвоюється: 3, 6, 12, 24. Модель із додаванням трьох починається так: 3, 6, 9, 12. Перші два значення збігаються. Третє показує, чи правило додає, чи множить.

Перетвори подвоєння на правило

Нехай x позначає кількість сезонів, а y — кількість рослин. Знайди кількість рослин через два сезони.

  1. Запиши початкове значення

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Тут x позначає сезони, а y — рослини. До першого подвоєння кількість залишається рівною трьом. Для нуля кроків записуємо 2⁰ = 1.

  2. Читай степінь як повторення множників

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    Показник степеня — це маленьке підняте число. Тут він рахує множники, що дорівнюють двом. Він не означає два, помножене на номер сезону.

  3. Перевір іще один сезон

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Подвой дванадцять й отримай двадцять чотири. Величина приросту зростає, але множник залишається рівним двом.

Той самий множник утворює дедалі більші стрибки

Початкова кількість — три. Через один сезон їх шість, а через два — дванадцять. Графік викривляється, бо величина приросту зростає.

Пов’яжи закономірність із кривою

Сталий множник за однакових кроків указує на експоненційне зростання. Сталий приріст указує на лінійне правило. Якщо можливими здаються обидві закономірності, перевір три значення, а не лише два.

На нижній осі графіка розташовані сезони, а на бічній — кількість рослин. Зі зростанням приросту крива стає крутішою. Значення за цілу кількість сезонів дають чіткі точки для перевірки.

Плавна крива також показує правило між цими точками. Там вона не обов’язково рахує цілі рослини. Справжні рослини не можуть подвоюватися нескінченно: місце й поживні речовини закінчуються. Це модель закономірності.

Спробуйте самі

Знайдіть відповідь і поясніть хід міркувань. Потім перевірте пояснення.

Використай інший множник зростання

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Знайди кількість після трьох кроків. Поясни, чим повторна зміна відрізняється від додавання трьох.

Показати відповідьСховати відповідь
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

Значення дорівнюють 2, 6, 18 і 54.

Відрізняй степені від прямих

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Яке правило подвоює результат на кожному кроці? Використай достатньо значень, щоб розрізнити дві закономірності.

Показати відповідьСховати відповідь
4⋅2x4\cdot2^x

Перше правило дає 4, 8, 16. Друге дає 4, 6, 8, бо щоразу додає два.

Розрізни два однакові початки

y=2×2xy=2\times2^x

Обидва дають два за нуля й чотири за одиниці. Що відбувається на наступному кроці?

Графік A

Перші три значення — два, чотири й шість.

Графік B

Перші три значення — два, чотири й вісім.

Показати відповідьСховати відповідь
Графік B\text{Графік B}

Подвоєння дає вісім за x = 2. Графік B підходить. Графік A продовжує додавати два, тому дає шість.

Коли додаткове число зміщує криву

У y = 2ˣ + 3 додай три після піднесення до степеня. За x = 0, 1 і 2 отримаєш 4, 5 і 7. Ці повні результати не подвоюються. Якщо правило містить додаткове зміщення, обчислюй точки за повним правилом.

У y = −2ˣ знак мінус змінює знак кожної висоти. Крива розташована нижче нуля. Основа при цьому не стає від’ємною.

Перевір закономірність зростання

Добирай правила до графіків. Перевір початок і кілька наступних значень. Ураховуй в повному правилі кожен додатковий множник або додане число.

2 хвилини практики · продовжуйте після помилок · відкриється нова вкладка

Спробуй завдання з графіками експоненційних функцій