SumNinja

Знаходь невідомий степінь за допомогою логарифмів

Приблизно 3 хв

Логарифм знаходить невідомий степінь. Чотири раунди подвоєння перетворюють один бал на шістнадцять, тому log₂(16) = 4.

Рахунок у грі починається з одиниці й подвоюється після кожного раунду. Відомо, що він досяг шістнадцяти. Щоб знайти кількість раундів, рухайся у зворотному напрямку від цього рахунку. Саме це робить логарифм. Маленька 2 у log₂ вказує використовувати степені двійки.

Віднови кількість раундів подвоєння

log₂(16) = ? → 2^? = 16

  1. Переклади позначення

    log⁡2(16)=?⟺2?=16\log_2(16)=?\quad\Longleftrightarrow\quad2^{?}=16

    Основа — це множник, який використовують знову й знову. Для основи два запитай, який степінь двійки дає шістнадцять.

  2. Порахуй кроки подвоєння

    1→2→4→8→161\to2\to4\to8\to16

    Від одиниці виконано чотири зміни. Початкове значення не є раундом подвоєння.

  3. Перевір піднесенням до степеня

    24=16⇒log⁡2(16)=42^4=16\quad\Rightarrow\quad\log_2(16)=4

    Чотири множники, що дорівнюють двом, відновлюють рахунок. Логарифм повертає цей показник, тобто невідомий степінь.

Цільовий рахунок відкладається по горизонталі, а раунди — по вертикалі

Один бал потребує нуля раундів, два — одного, чотири — двох, а вісім — трьох. Подвоєння цільового рахунку додає одиницю до висоти.

Побудуй графік із того самого запитання

Для y = log₂(x) нехай x буде цільовим рахунком, а y — потрібною кількістю раундів. Для рахунку вісім потрібні три раунди, тому (8, 3) — точка графіка.

Рахункам 1, 2, 4 і 8 відповідають 0, 1, 2 і 3 раунди. Кожне подвоєння піднімає висоту на один. Відстані між рахунками зростають, тому крива піднімається повільніше.

Степінь двійки завжди більший за нуль. Він не може дати нульову або від’ємну ціль, тому для цього графіка x має бути більшим за нуль. Половина бала означає один крок подвоєння назад: 2⁻¹ = 1/2, тому log₂(1/2) = −1.

Змінюй основу, а не зміст

За основи три кожен крок потроює початкове значення. Оскільки 3² = 9, log₃(9) = 2. Завдання залишається тим самим: відновити степінь. Ціль також можна розташувати між відомими степенями, не знаходячи її точного значення.

Спробуйте самі

Знайдіть відповідь і поясніть хід міркувань. Потім перевірте пояснення.

Зміни ціль

log⁡2(32)\log_2(32)

Скільки раундів подвоєння потрібно, щоб від одиниці дійти до цієї цілі?

Показати відповідьСховати відповідь
55

2⁵ = 32, тому невідомий степінь дорівнює 5.

Прочитай іншу основу

log⁡3(81)\log_3(81)

Який степінь трійки дає цільове число? Перевір множенням у зворотному напрямку.

Показати відповідьСховати відповідь
44

3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Оціни між опорними степенями

log⁡2(12)\log_2(12)

Використай степені безпосередньо нижче й вище дванадцяти, щоб розташувати невідомий степінь.

Показати відповідьСховати відповідь
3<log⁡2(12)<43<\log_2(12)<4

Оскільки 2³ = 8, а 2⁴ = 16, степінь, що дає дванадцять, лежить між трьома й чотирма.

Вибери графік кількості раундів за рахунком

y=log⁡2(x)y=\log_2(x)

Який графік дає правильну кількість раундів, коли цільовий рахунок дорівнює одиниці?

Графік A

Для рахунків один, два й чотири висоти дорівнюють нулю, одному й двом.

Графік B

Для рахунків один, два й чотири висоти дорівнюють двом, трьом і чотирьом.

Показати відповідьСховати відповідь
Графік A\text{Графік A}

Для рахунку один потрібно нуль раундів подвоєння. Графік A містить точку (1, 0). На графіку B кожна висота більша на два.

Чим може допомогти логарифмічна шкала

На звичайній шкалі однакові проміжки відповідають однаковим додаванням: один, два, три, чотири. На логарифмічній шкалі з основою два однакові проміжки відповідають подвоєнню: один, два, чотири, вісім. Так на малому просторі можна показати дуже великі зміни.

Логарифмічна шкала змінює відстані на осі. Натомість графік вище зображує логарифм на звичайних осях. Ці ідеї пов’язані, але це не те саме зображення.

Читай зміщений або перевернутий графік логарифма

Число перед логарифмом множить його результат. У y = 2log₂(x) за x = 4 отримуємо 2 × 2 = 4.

У y = log₂(x) + 2 додай два до кожної висоти. Тому за x = 1 отримуємо y = 2. Знак мінус перед логарифмом перевертає криву догори дном. Перш ніж вибирати, перевір відомий степінь у повному правилі.

Спробуй пов’язати правило з графіком

Гра просить добирати графіки до логарифмічних правил. Використай ціль, що є відомим степенем, а потім перевір її висоту. Ураховуй всі зміни в повному правилі.

2 хвилини практики · продовжуйте після помилок · відкриється нова вкладка

Спробуй завдання з графіками логарифмічних функцій