SumNinja

Зрозумій синус і косинус за допомогою одного кола

Приблизно 3 хв

Синус відстежує висоту точки під час руху по колу. Косинус відстежує її положення ліворуч-праворуч. Нанеси ці значення протягом оберту й отримай дві хвилі.

Ігровий прожектор рухається по колу. Треба відстежувати його висоту й розрізняти два хвильові графіки. Коло нижче має радіус в одну одиницю. Висота його кінцевої точки — це синус, а положення ліворуч-праворуч — косинус. Під час обертання вказівника обидва значення змінюються одночасно.

Координати на одиничному колі Радіус дорівнює одиниці. Праворуч: 0 градусів, координати (1, 0). Угорі: 90 градусів або пі навпіл, координати (0, 1). Ліворуч: 180 градусів або пі, координати (-1, 0). Унизу: 270 градусів або три пі навпіл, координати (0, -1). Косинус — горизонтальна координата, синус — вертикальна. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Синій показує рух ліворуч і праворуч: косинус. Зелений показує висоту: синус. Радіус дорівнює одиниці. Повний оберт — 360°, або 2π радіанів.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Синус — суцільна зелена лінія. Косинус — синя пунктирна. Кут зазначено внизу, а значення на колі — збоку.

Стеж за тією самою точкою протягом оберту

Читай пару як (косинус, синус): спочатку ліворуч-праворуч, потім висота.

  1. Почни в крайній правій точці

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    Кінцева точка розташована на одну одиницю праворуч від центра й має нульову висоту. Почни тут і повертай проти годинникової стрілки.

  2. Поверни на чверть оберту до верхньої точки

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    Горизонтальне значення стає нульовим, а висота досягає одиниці. Два маркери хвиль показують ці значення для того самого кута.

  3. Поверни ще на чверть оберту ліворуч

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Ліворуч від центра горизонтальне значення від’ємне. Висота знову дорівнює нулю. У нижній точці висота стає рівною мінус одному.

Зрозумій, чому хвилі починаються по-різному

На хвильових графіках кут відкладається по нижній осі, а значення з кола — по бічній. За нуля зелена хвиля синуса починається з нуля, а синя пунктирна хвиля косинуса — з одиниці.

За чверть оберту синус досягає одиниці, а косинус — нуля. Використовуй елемент керування, щоб зіставляти два значення на колі з двома маркерами. Після повного оберту точка й обидві хвилі повертаються до початку.

Радіус кола дорівнює одиниці. Тому ні висота, ні положення ліворуч-праворуч не можуть вийти за межі від мінус одного до одного. Обидві хвилі залишаються між цими межами.

Читай той самий поворот у градусах або радіанах

Градуси й радіани — дві одиниці вимірювання кутів. Повний оберт дорівнює 360°, або 2π радіанів. Число π приблизно дорівнює 3,14. Пів оберту — це π радіанів, а чверть — π/2.

У грі з графіками використовуються радіани. Прочитай підписи кутів, перш ніж порівнювати висоту. Значення хвилі — це положення точки на колі, а не інший кут.

Спробуйте самі

Знайдіть відповідь і поясніть хід міркувань. Потім перевірте пояснення.

Прочитай точку ліворуч

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Яке значення задає висоту, а яке — положення ліворуч-праворуч?

Показати відповідьСховати відповідь
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Косинус задає положення ліворуч-праворуч, −1. Синус задає висоту, нуль.

Прочитай нижню точку

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Якої висоти досягає прожектор у нижній точці кола?

Показати відповідьСховати відповідь
−1-1

Точка розташована на одну одиницю нижче центра, тому її синус дорівнює −1.

Вибери косинус із двох хвиль

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Перевір, де прожектор починає рух за нульового кута, а потім порівняй чверть оберту.

Графік A

За нульового кута значення дорівнює нулю. За чверть оберту воно дорівнює одиниці.

Графік B

За нульового кута значення дорівнює одиниці. За чверть оберту воно дорівнює нулю.

Показати відповідьСховати відповідь
Графік B\text{Графік B}

Косинус починається з одиниці й досягає нуля за чверть оберту. Графік B підходить. Графік A натомість відстежує висоту, тобто синус.

Зміни висоту або швидкість хвилі

У y = 2sin(x) подвой кожну висоту. Хвиля проходить від мінус двох до двох і далі повторюється через 2π. Додавання одиниці зміщує всю хвилю вгору на один.

У y = sin(2x) кут змінюється вдвічі швидше. Тепер одна повна хвиля вміщується в π радіанів. Читай початок, висоту й період повторення з повного правила.

Знак мінус попереду перевертає хвилю догори дном: y = −sin(x). Її вершини стають западинами. Перевір один відомий кут, щоб побачити напрямок.

Зможеш розрізнити хвилі?

Вибери завдання з графіками синуса або косинуса. Перевір початок, висоту й період повторення. У грі використовуються радіани, а основна хвиля може розтягуватися або зміщуватися.

2 хвилини практики · продовжуйте після помилок · відкриється нова вкладка

Спробуй графіки синуса Спробуй графіки косинуса