SumNinja

Чому графіки тангенса мають розриви

Приблизно 3 хв

Тангенс порівнює, наскільки напрямок іде вгору й убік. Поділи висоту на положення ліворуч-праворуч. Вертикальний напрямок не має ширини, тому на графіку є розрив.

Уяви, що наводиш вказівник у грі. Коло нижче має радіус в одну одиницю. Висота кінцевої точки — це синус, а положення ліворуч-праворуч — косинус. Тангенс ділить висоту на це горизонтальне значення. Повертай вказівник і подивись, чому вертикальний напрямок спричиняє проблему.

Координати на одиничному колі Радіус дорівнює одиниці. Праворуч: 0 градусів, координати (1, 0). Угорі: 90 градусів або пі навпіл, координати (0, 1). Ліворуч: 180 градусів або пі, координати (-1, 0). Унизу: 270 градусів або три пі навпіл, координати (0, -1). Косинус — горизонтальна координата, синус — вертикальна. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Синій показує рух ліворуч і праворуч: косинус. Зелений показує висоту: синус. Радіус дорівнює одиниці. Повний оберт — 360°, або 2π радіанів.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Простеж за вказівником у трьох напрямках

Читай тангенс як висота ÷ горизонтальне положення.

  1. Спрямуй горизонтально праворуч

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Кінцева точка розташована на одну одиницю праворуч від центра й має нульову висоту. Нуль, поділений на один, дорівнює нулю.

  2. Зроби висоту й ширину однаковими

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    За 45 градусів обидві довжини однакові й додатні. Ділення рівних довжин дає одиницю.

  3. Спрямуй вертикально вгору

    tan⁡(90∘)=10не визначено\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{не визначено}

    У верхній точці горизонтальне положення дорівнює нулю. Жодне число, помножене на нуль, не може дати висоту один, тому це ділення не має відповіді.

Вертикальний напрямок утворює розрив

Кожен бік розриву належить окремій частині кривої. Ніколи не проводь лінію через відсутнє значення.

Пов’яжи напрямок із графіком

На графіку кут відкладається по нижній осі, а тангенс — по бічній. Горизонтальний напрямок дає (0, 0). За 45°, або π/4 радіанів, значення дорівнює одиниці.

Коли вказівник наближається до вертикального напрямку, його висота залишається близькою до одиниці, а горизонтальна довжина зменшується. Ділення на цю крихітну довжину дає великий результат.

Одразу після проходження вертикального напрямку горизонтальне положення стає від’ємним, а висота залишається додатною. Результат стає від’ємним. Графік має окремі частини з розривом між ними. Сам розрив не є нескінченністю.

Читай підписи кутів

І градуси, і радіани вимірюють повороти. Повний оберт дорівнює 360°, або 2π радіанів. Число π приблизно дорівнює 3,14. Чверть оберту — це 90°, або π/2 радіанів. У грі використовуються радіани.

Пів оберту змінює обидва знаки на протилежні, тому відношення залишається тим самим. Отже тангенс повторюється через кожні 180°, або π радіанів. Розриви розташовані за π/2, потім за 3π/2 і так далі.

Спробуйте самі

Знайдіть відповідь і поясніть хід міркувань. Потім перевірте пояснення.

Поверни нижче горизонталі

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Спрямуй вказівник на одну восьму оберту нижче напрямку праворуч. Яке там значення тангенса?

Показати відповідьСховати відповідь
−1-1

Синус від’ємний, а косинус додатний. Їхні величини однакові, тому відповідь дорівнює −1.

Визнач невизначене значення

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Що відбувається з тангенсом за цього кута? Поясни, чому він не може дорівнювати нулю.

Показати відповідьСховати відповідь
не визначено\text{не визначено}

Жодне число, помножене на нуль, не дає одиницю, тому 1 ÷ 0 не має відповіді. Це не нуль і не нескінченність.

Вибери графік, який може мати розриви

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Обидва проходять через нуль. Який може зображати вертикальний напрямок без визначеного відношення?

Графік A

Окремі частини мають розриви за чверть оберту, а потім через кожні пів оберту.

Графік B

Одна плавна хвиля залишається між мінус одним і одним без розривів.

Показати відповідьСховати відповідь
Графік A\text{Графік A}

Графік A має розриви там, де положення ліворуч-праворуч дорівнює нулю. Графік B залишається між мінус одним і одним без розривів, тому не може бути тангенсом.

Коли гра розтягує графік

У y = 2tan(x) подвой кожну висоту графіка. Розриви залишаються на місці. Додавання числа зміщує графік угору або вниз. Знак мінус змінює знаки висот, але не кути розривів.

У y = tan(2x) вказівник повертається вдвічі швидше. Графік повторюється через π/2 замість π. Його розриви також зближуються. Перевір повне правило, перш ніж вибирати.

Перевір ідею розриву

Добирай графіки до правил тангенса. Шукай відоме значення, розриви й відстань до повторення форми. У грі використовуються радіани.

2 хвилини практики · продовжуйте після помилок · відкриється нова вкладка

Спробуй завдання з графіками тангенса