SumNinja

Upptäck tillväxt som multiplicerar i varje steg

Ca 3 min

Att lägga till samma mängd och att multiplicera med samma faktor kan först se likadant ut. Ett tredje värde kan visa skillnaden.

En trädgårdsmodell börjar med 3 plantor och dubblar antalet varje säsong: 3, 6, 12, 24. En modell som lägger till tre börjar med 3, 6, 9, 12. De två första antalen stämmer överens. Det tredje visar om regeln adderar eller multiplicerar.

Gör dubbleringen till en regel

Låt x räkna säsonger och y räkna plantor. Hitta antalet efter två säsonger.

  1. Anteckna starten

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Här räknar x säsonger och y plantor. Före någon dubblering är antalet fortfarande tre. Vi skriver 2⁰ = 1 för noll steg.

  2. Läs potensen som upprepade faktorer

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    Exponentens lilla upphöjda tal räknar här antalet faktorer två. Det betyder inte två gånger antalet säsonger.

  3. Kontrollera en säsong till

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Dubbla tolv för att få tjugofyra. Mängden som läggs till växer, men multiplikationsfaktorn är fortfarande två.

Samma faktor ger växande språng

Antalet börjar vid tre. Efter en säsong är det sex; efter två är det tolv. Grafen böjer sig eftersom mängden som läggs till växer.

Koppla mönstret till kurvan

En fast faktor vid lika stora steg kännetecknar exponentiell tillväxt. En fast ökning kännetecknar en linjär regel. Kontrollera tre värden i stället för två om båda mönstren verkar möjliga.

Grafen har säsonger längs den vågräta axeln och antalet plantor längs den lodräta. När den tillagda mängden växer blir kurvan brantare. Antalen vid hela säsonger ger tydliga kontrollpunkter.

Den jämna kurvan visar också regeln mellan punkterna. Där behöver den inte räkna hela plantor. Verkliga plantor kan inte dubbleras för alltid: utrymme och näring tar slut. Det här är en modell av ett mönster.

Prova själv

Räkna ut ett svar och förklara hur du tänkte. Kontrollera sedan förklaringen.

Använd en annan tillväxtfaktor

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Hitta antalet efter tre steg. Förklara hur den upprepade förändringen skiljer sig från att lägga till tre.

Visa svaretDölj svaret
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

Värdena är 2, 6, 18 och 54.

Skilj potenser från räta linjer

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Vilken regel dubblar resultatet i varje steg? Använd tillräckligt många värden för att skilja mönstren åt.

Visa svaretDölj svaret
4⋅2x4\cdot2^x

Den första ger 4, 8, 16. Den andra ger 4, 6, 8 eftersom den lägger till två varje gång.

Skilj två likadana starter åt

y=2×2xy=2\times2^x

Båda ger två vid noll och fyra vid ett. Vad händer i nästa steg?

Graf A

De tre första värdena är två, fyra och sex.

Graf B

De tre första värdena är två, fyra och åtta.

Visa svaretDölj svaret
Graf B\text{Graf B}

Dubblering ger åtta vid x = 2. Graf B passar. Graf A fortsätter att lägga till två och ger därför sex.

När ett extra tal flyttar kurvan

Lägg till tre i y = 2ˣ + 3 efter att ha beräknat potensen. Vid x = 0, 1 och 2 får du 4, 5 och 7. De fullständiga resultaten dubblas inte. Beräkna punkter från hela regeln när den innehåller en extra förskjutning.

I y = −2ˣ ändrar minustecknet tecknet på varje höjd. Kurvan ligger under noll. Det gör inte basen negativ.

Testa tillväxtmönstret

Matcha regler med grafer. Kontrollera starten och några senare värden. Ta med varje extra faktor eller tillagt tal i hela regeln.

2 minuters övning · fortsätt efter misstag · öppnas i en ny flik

Prova frågor om exponentialgrafer