SumNinja

Замечайте рост с умножением на каждом шаге

Около 3 мин

Прибавление одного количества и умножение на один множитель сначала могут выглядеть одинаково. Третье значение поможет увидеть разницу.

В модели сада сначала есть 3 растения, а каждый сезон их число удваивается: 3, 6, 12, 24. В модели с прибавлением трёх получается 3, 6, 9, 12. Первые два значения совпадают. Третье показывает, используется сложение или умножение.

Превратите удвоение в правило

Пусть x обозначает число сезонов, а y — число растений. Найдите количество через два сезона.

  1. Запишите начальное значение

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Здесь x обозначает число сезонов, а y — число растений. До первого удвоения количество остаётся равным трём. Для нуля шагов мы записываем 2⁰ = 1.

  2. Считайте степень как повторяющиеся множители

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    Показатель степени — маленькое число сверху. Здесь он указывает число множителей, равных двум. Он не означает, что два нужно умножить на номер сезона.

  3. Проверьте ещё один сезон

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Удвойте двенадцать и получите двадцать четыре. Величина прибавления растёт, но множитель остаётся равным двум.

Один и тот же множитель создаёт всё большие скачки

Начальное количество равно трём. Через один сезон оно равно шести, через два — двенадцати. График изгибается, потому что величина прибавления растёт.

Свяжите закономерность с кривой

Постоянный множитель на равных шагах указывает на показательный рост. Постоянная прибавка указывает на линейное правило. Если подходят обе закономерности, проверьте три значения, а не только два.

На нижней оси графика отмечены сезоны, а на боковой — число растений. Поскольку величина прибавления растёт, кривая становится круче. Значения для целого числа сезонов дают удобные точки для проверки.

Плавная кривая также показывает правило между этими точками. Там она не обязательно обозначает целое число растений. Настоящие растения не могут удваиваться вечно: место и питание закончатся. Это модель закономерности.

Попробуйте сами

Найдите ответ и объясните ход рассуждений. Затем проверьте объяснение.

Используйте другой множитель роста

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Найдите количество после трёх шагов. Объясните, чем повторяющееся изменение отличается от прибавления трёх.

Показать ответСкрыть ответ
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

Получаются значения 2, 6, 18 и 54.

Отличайте степени от прямых

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Какое правило удваивает результат на каждом шаге? Возьмите достаточно значений, чтобы различить две закономерности.

Показать ответСкрыть ответ
4⋅2x4\cdot2^x

Первое правило даёт 4, 8, 16. Второе даёт 4, 6, 8, потому что каждый раз прибавляет два.

Различите два одинаковых начала

y=2×2xy=2\times2^x

Оба дают два при нуле и четыре при единице. Что произойдёт на следующем шаге?

График A

Первые три значения — два, четыре и шесть.

График B

Первые три значения — два, четыре и восемь.

Показать ответСкрыть ответ
График B\text{График B}

Удвоение даёт восемь при x = 2. Подходит график B. График A продолжает прибавлять два и даёт шесть.

Когда дополнительное число сдвигает кривую

В y = 2ˣ + 3 прибавьте три после возведения в степень. При x = 0, 1 и 2 получатся 4, 5 и 7. Эти итоговые значения не удваиваются. Если в правиле есть дополнительный сдвиг, вычисляйте точки по полному правилу.

В y = −2ˣ знак минус меняет знак каждой высоты. Кривая находится ниже нуля. Основание при этом не становится отрицательным.

Проверьте закономерность роста

Сопоставляйте правила и графики. Проверьте начальное и несколько последующих значений. Учитывайте в полном правиле любой дополнительный множитель или прибавляемое число.

2 минуты практики · продолжайте после ошибок · откроется новая вкладка

Попробовать задания с показательными графиками