SumNinja

Находите неизвестную степень с помощью логарифмов

Около 3 мин

Логарифм находит неизвестную степень. За четыре раунда удвоение превращает одно очко в шестнадцать, поэтому log₂(16) = 4.

В начале игры у вас одно очко, а после каждого раунда счёт удваивается. Известно, что он достиг шестнадцати. Чтобы найти число раундов, идите от результата в обратную сторону. Именно это делает логарифм. Маленькая цифра 2 в log₂ указывает, что нужно использовать степени двойки.

Восстановите число раундов с удвоением

log₂(16) = ? → 2^? = 16

  1. Переведите обозначение в знакомую запись

    log⁡2(16)=?⟺2?=16\log_2(16)=?\quad\Longleftrightarrow\quad2^{?}=16

    Основание — множитель, который используется снова и снова. При основании два нужно спросить, какая степень двойки даёт шестнадцать.

  2. Посчитайте шаги удвоения

    1→2→4→8→161\to2\to4\to8\to16

    Начиная с единицы, происходит четыре изменения. Начальное значение не считается раундом удвоения.

  3. Проверьте возведением в степень

    24=16⇒log⁡2(16)=42^4=16\quad\Rightarrow\quad\log_2(16)=4

    Четыре множителя, равных двум, восстанавливают счёт. Логарифм возвращает этот показатель, то есть неизвестную степень.

Целевой счёт откладывается по горизонтали, а число раундов — по вертикали

Для одного очка нужно ноль раундов, для двух — один, для четырёх — два, для восьми — три. При удвоении целевого счёта высота увеличивается на один.

Постройте график по тому же вопросу

В y = log₂(x) пусть x обозначает целевой счёт, а y — необходимое число раундов. Для счёта восемь нужно три раунда, поэтому (8, 3) — точка на графике.

Для счёта 1, 2, 4 и 8 нужно соответственно 0, 1, 2 и 3 раунда. Каждое удвоение поднимает высоту на один. Промежутки между значениями счёта растут, поэтому кривая поднимается всё медленнее.

Степень двойки всегда больше нуля. Она не может дать нулевой или отрицательный результат, поэтому для этого графика x должен быть больше нуля. Половина очка означает один шаг удвоения назад: 2⁻¹ = 1/2, поэтому log₂(1/2) = −1.

Меняйте основание, а не смысл

При основании три каждый шаг утраивает начальное значение. Поскольку 3² = 9, log₃(9) = 2. Задача остаётся той же: восстановить степень. Можно также расположить целевое значение между знакомыми степенями, не находя его точное значение.

Попробуйте сами

Найдите ответ и объясните ход рассуждений. Затем проверьте объяснение.

Измените целевое значение

log⁡2(32)\log_2(32)

Сколько раундов удвоения потребуется, чтобы получить это значение из единицы?

Показать ответСкрыть ответ
55

2⁵ = 32, поэтому неизвестная степень равна 5.

Прочитайте другое основание

log⁡3(81)\log_3(81)

Какая степень тройки даёт целевое значение? Проверьте обратным умножением.

Показать ответСкрыть ответ
44

3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Оцените значение между опорными степенями

log⁡2(12)\log_2(12)

Используйте степени чуть меньше и чуть больше двенадцати, чтобы определить положение неизвестной степени.

Показать ответСкрыть ответ
3<log⁡2(12)<43<\log_2(12)<4

Поскольку 2³ = 8, а 2⁴ = 16, степень, которая даёт двенадцать, находится между тремя и четырьмя.

Выберите график числа раундов по счёту

y=log⁡2(x)y=\log_2(x)

Какой график даёт правильное число раундов, когда целевой счёт равен единице?

График A

Для счёта один, два и четыре высоты равны нулю, одному и двум.

График B

Для счёта один, два и четыре высоты равны двум, трём и четырём.

Показать ответСкрыть ответ
График A\text{График A}

Для счёта один нужно ноль раундов удвоения. График A содержит точку (1, 0). У графика B каждая высота дополнительно увеличена на два.

Чем может помочь логарифмическая шкала

В обычной шкале равные промежутки соответствуют одинаковому прибавлению: один, два, три, четыре. В логарифмической шкале с основанием два равные промежутки соответствуют удвоению: один, два, четыре, восемь. Так на небольшом участке можно показать очень большие изменения.

Логарифмическая шкала изменяет расстояния на оси. На графике выше, напротив, логарифм изображён на обычных осях. Эти идеи связаны, но это не одно и то же изображение.

Читайте сдвинутый или перевёрнутый логарифмический график

Число перед логарифмом умножает его результат. В y = 2log₂(x) при x = 4 получаем 2 × 2 = 4.

В y = log₂(x) + 2 прибавьте два к каждой высоте. Поэтому при x = 1 получаем y = 2. Знак минус перед логарифмом переворачивает кривую. Перед выбором проверьте знакомую степень в полном правиле.

Проверьте связь с графиком

Игра предлагает сопоставлять логарифмические правила и графики. Возьмите целевое значение, которое является знакомой степенью, а затем проверьте его высоту. Учитывайте все изменения в полном правиле.

2 минуты практики · продолжайте после ошибок · откроется новая вкладка

Попробовать задания с логарифмическими графиками