SumNinja

Поймите синус и косинус с помощью одной окружности

Около 3 мин

Синус показывает высоту точки при движении по окружности. Косинус показывает её положение слева направо. Если нанести эти значения в течение одного оборота, получатся две волны.

Игровой огонёк движется по окружности. Нужно отслеживать его высоту и различать два волновых графика. Радиус окружности ниже равен одной единице. Высота конца указателя — синус, а положение слева направо — косинус. При повороте указателя оба значения меняются одновременно.

Координаты на единичной окружности Радиус равен единице. Справа: 0 градусов, координаты (1, 0). Сверху: 90 градусов или пи пополам, координаты (0, 1). Слева: 180 градусов или пи, координаты (-1, 0). Снизу: 270 градусов или три пи пополам, координаты (0, -1). Косинус — горизонтальная координата, синус — вертикальная. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Синий показывает движение влево и вправо: косинус. Зелёный показывает высоту: синус. Радиус равен единице. Полный оборот — 360°, или 2π радиан.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Синус — сплошная зелёная линия. Косинус — синяя пунктирная. Угол указан снизу, а значение на окружности — сбоку.

Проследите за одной точкой в течение оборота

Читайте пару как (косинус, синус): сначала положение слева направо, затем высота.

  1. Начните в крайней правой точке

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    Конец указателя находится на одну единицу правее центра и на нулевой высоте. Начните здесь и поворачивайте против часовой стрелки.

  2. Поверните на четверть оборота вверх

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    Горизонтальное значение становится нулём, а высота достигает единицы. Две отметки на волнах показывают эти значения при одном и том же угле.

  3. Поверните ещё на четверть оборота влево

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Положение слева от центра означает отрицательное горизонтальное значение. Высота снова равна нулю. В нижней точке высота становится равной минус единице.

Узнайте, почему волны начинаются по-разному

На нижней оси волновых графиков отложен угол, а на боковой — значение на окружности. При нуле зелёная волна синуса начинается с нуля, а синяя пунктирная волна косинуса — с единицы.

После четверти оборота синус достигает единицы, а косинус — нуля. Используйте элемент управления, чтобы сопоставить два значения на окружности с двумя отметками. После полного оборота точка и обе волны возвращаются в исходное положение.

Радиус окружности равен единице: расстояние от центра до края составляет одну единицу. Поэтому ни высота, ни положение слева направо не могут быть больше единицы или меньше минус единицы. Обе волны остаются в этих пределах.

Читайте один и тот же поворот в градусах или радианах

Градусы и радианы — две единицы измерения угла. Полный оборот равен 360°, или 2π радиан. Число π примерно равно 3,14. Половина оборота равна π радиан, а четверть — π/2.

В игре с графиками используются радианы. Перед сравнением высоты читайте подписи углов. Значение на волне — это положение точки на окружности, а не ещё один угол.

Попробуйте сами

Найдите ответ и объясните ход рассуждений. Затем проверьте объяснение.

Прочитайте точку слева

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Какое значение задаёт высоту, а какое — положение слева направо?

Показать ответСкрыть ответ
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Косинус задаёт положение слева направо, −1. Синус задаёт высоту, ноль.

Прочитайте нижнюю точку

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Какой высоты достигает огонёк в нижней точке окружности?

Показать ответСкрыть ответ
−1-1

Точка находится на одну единицу ниже центра, поэтому её синус равен −1.

Выберите косинус среди двух волн

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Проверьте начальное положение огонька при нулевом угле, а затем сравните четверть оборота.

График A

При нуле значение равно нулю. После четверти оборота оно равно единице.

График B

При нуле значение равно единице. После четверти оборота оно равно нулю.

Показать ответСкрыть ответ
График B\text{График B}

Косинус начинается с единицы и достигает нуля после четверти оборота. Подходит график B. График A вместо этого показывает высоту, то есть синус.

Измените высоту или скорость волны

В y = 2sin(x) удвойте каждую высоту. Волна идёт от минус двух до двух и по-прежнему повторяется через 2π. Прибавление единицы сдвигает всю волну вверх на одну единицу.

В y = sin(2x) угол меняется вдвое быстрее. Теперь одна полная волна помещается в π радиан. Определяйте начало, высоту и длину повторения по полному правилу.

Знак минус перед функцией переворачивает волну: y = −sin(x). Её вершины становятся впадинами. Проверьте один знакомый угол, чтобы понять, в какую сторону она направлена.

Сможете различить две волны?

Выберите задания с графиками синуса или косинуса. Проверьте начало, высоту и длину повторения. В игре используются радианы, а основная волна может быть растянута или сдвинута.

2 минуты практики · продолжайте после ошибок · откроется новая вкладка

Попробовать графики синуса Попробовать графики косинуса