SumNinja

Почему на графиках тангенса есть разрывы

Около 3 мин

Тангенс сравнивает, насколько направление уходит вверх и в сторону. Разделите высоту на положение слева направо. У направления строго вверх нет ширины, поэтому на графике возникает разрыв.

Представьте, что вы наводите указатель в игре. Радиус окружности ниже равен одной единице. Высота конца указателя — синус, а положение слева направо — косинус. Тангенс делит высоту на это горизонтальное значение. Поворачивайте указатель, чтобы понять, почему направление строго вверх создаёт проблему.

Координаты на единичной окружности Радиус равен единице. Справа: 0 градусов, координаты (1, 0). Сверху: 90 градусов или пи пополам, координаты (0, 1). Слева: 180 градусов или пи, координаты (-1, 0). Снизу: 270 градусов или три пи пополам, координаты (0, -1). Косинус — горизонтальная координата, синус — вертикальная. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Синий показывает движение влево и вправо: косинус. Зелёный показывает высоту: синус. Радиус равен единице. Полный оборот — 360°, или 2π радиан.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Проследите за указателем в трёх направлениях

Читайте тангенс как высоту, делённую на горизонтальное положение.

  1. Направьте указатель вправо по горизонтали

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Конец указателя находится на одну единицу правее центра и на нулевой высоте. Ноль, делённый на один, равен нулю.

  2. Сделайте высоту и ширину равными

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    При 45 градусах обе длины равны и положительны. При делении равных длин получается единица.

  3. Направьте указатель строго вверх

    tan⁡(90∘)=10не определён\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{не определён}

    В верхней точке горизонтальное положение равно нулю. Ни одно число при умножении на ноль не даёт высоту, равную единице, поэтому у этого деления нет ответа.

Вертикальное направление создаёт разрыв

Каждая сторона разрыва принадлежит своей части кривой. Никогда не проводите линию через отсутствующее значение.

Свяжите направление с графиком

На нижней оси графика отложен угол, а на боковой — тангенс. Горизонтальное направление даёт точку (0, 0). При 45°, или π/4 радиан, значение равно единице.

Когда указатель приближается к вертикальному положению, его высота остаётся близкой к единице, а ширина уменьшается. Деление на такую малую длину даёт большой результат.

Сразу после вертикального положения горизонтальное значение становится отрицательным, а высота остаётся положительной. Результат становится отрицательным. График состоит из отдельных частей с разрывом между ними. Сам разрыв не равен бесконечности.

Читайте подписи углов

И градусы, и радианы измеряют поворот. Полный оборот равен 360°, или 2π радиан. Число π примерно равно 3,14. Четверть оборота равна 90°, или π/2 радиан. В игре используются радианы.

Половина оборота меняет оба знака на противоположные, поэтому отношение остаётся прежним. Тангенс повторяется через каждые 180°, или π радиан. Разрывы находятся при π/2, затем при 3π/2 и так далее.

Попробуйте сами

Найдите ответ и объясните ход рассуждений. Затем проверьте объяснение.

Поверните ниже горизонтали

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Направьте указатель на одну восьмую оборота ниже направления вправо. Чему там равен тангенс?

Показать ответСкрыть ответ
−1-1

Синус отрицателен, а косинус положителен. Их величины равны, поэтому ответ равен −1.

Найдите неопределённое значение

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Что происходит с тангенсом при этом угле? Объясните, почему он не может быть равен нулю.

Показать ответСкрыть ответ
не определён\text{не определён}

Ни одно число при умножении на ноль не даёт единицу, поэтому у 1 ÷ 0 нет ответа. Это не ноль и не бесконечность.

Выберите график, который может разрываться

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Оба проходят через ноль. Какой может изображать вертикальное направление, для которого отношение не определено?

График A

Между отдельными частями есть разрывы после четверти оборота, а затем через каждые пол-оборота.

График B

Одна плавная волна остаётся между минус единицей и единицей и не имеет разрывов.

Показать ответСкрыть ответ
График A\text{График A}

У графика A есть разрывы там, где горизонтальное значение равно нулю. График B без разрывов остаётся между минус единицей и единицей, поэтому он не может быть графиком тангенса.

Когда игра растягивает график

В y = 2tan(x) удвойте каждую высоту на графике. Разрывы останутся на месте. Прибавление числа сдвигает график вверх или вниз. Знак минус меняет знаки высот, но не углы разрывов.

В y = tan(2x) указатель поворачивается вдвое быстрее. График повторяется через π/2 вместо π. Разрывы тоже становятся ближе друг к другу. Перед выбором проверьте полное правило.

Проверьте идею разрывов

Сопоставляйте правила тангенса с графиками. Ищите знакомое значение, разрывы и расстояние до повторения формы. В игре используются радианы.

2 минуты практики · продолжайте после ошибок · откроется новая вкладка

Попробовать задания с графиками тангенса