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Usa o produto escalar para comparar direções

Cerca de 4 min

Um produto escalar dá um único número. O seu sinal indica se um destino fica à frente, ao lado ou atrás da direção para a qual estás virado.

Uma peça de jogo está virada na direção de (2, 1): duas unidades para a direita e uma para cima. Um destino fica em (−1, 3) a partir dela: uma unidade para a esquerda e três para cima. Fica à frente ou atrás? Um produto escalar transforma os dois vetores num único número cujo sinal responde a essa pergunta.

Compara o destino com a direção da peça

Calcula o produto escalar de (2, 1) e (−1, 3).

  1. Multiplica as componentes correspondentes

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    A componente do destino para a esquerda contraria a componente da direção para a direita. A sua componente para cima acompanha a componente da direção para cima.

  2. Soma os dois contributos

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Três é maior do que menos dois, o que deixa uma resposta positiva. O resultado é um escalar: um único número, não o par (−2, 3).

  3. Responde à pergunta sobre a direção

    1>0⇒aˋ frente1>0\quad\Rightarrow\quad\text{à frente}

    O destino fica no lado da frente em relação à direção da peça. Estar à frente não significa estar diretamente na mesma linha.

O destino fica à esquerda no ecrã, mas à frente de A

A indica a direção para a qual a peça está virada e B indica o destino. A metade sombreada fica à frente de A. A linha tracejada marca um ângulo reto em relação a A.

Lê o lado da frente na imagem

A linha de limite cruza a peça num ângulo reto em relação à direção para a qual está virada. Um destino nessa linha tem um contributo nulo para a frente. Os destinos para lá dessa linha ficam do lado da frente ou do lado de trás.

Para dois vetores não nulos, um produto escalar positivo significa um ângulo inferior a 90°. Um resultado negativo significa um ângulo superior a 90°. Zero significa um ângulo reto, também chamado perpendicular.

Portanto, o sinal dá um teste útil mesmo quando o destino aparece à esquerda no ecrã. Compara-o com a direção para a qual a peça está virada, não apenas com esquerda e direita.

Experimenta

Calcula uma resposta e explica o teu raciocínio. Depois verifica a explicação.

Deteta um ângulo reto

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Calcula o resultado, que é um único número. Que relação angular revela o seu sinal?

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00

Os resultados 2 e −2 somam zero, por isso estes vetores não nulos formam um ângulo reto.

Dá como resposta um único número

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Calcula o único número, em vez de um par. Explica porque é que os dois produtos têm de ser combinados.

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55

Calcula −1 × 3 + 2 × 4. Isto dá −3 + 8 = 5.

Usa o resultado para tomar uma decisão no jogo

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

O destino fica à frente, atrás ou exatamente de lado em relação a esta direção?

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Atraˊs\text{Atrás}

O produto escalar é menos dois. Quando a peça está virada para a direita, a posição do destino à esquerda conta como estando atrás. A sua componente para cima não altera esse sinal.

Porque é que um resultado grande não significa um ângulo menor

O ângulo mantém-se quando duplicas um dos vetores, mas o produto escalar duplica. Portanto, o valor depende dos dois comprimentos. Um vetor unitário tem comprimento um. Usa vetores unitários para eliminares o efeito do comprimento.

Um vetor nulo dá um produto escalar igual a zero com qualquer vetor. No entanto, não tem direção, por isso este caso não representa um ângulo reto. A regra dos ângulos precisa de dois vetores não nulos.

Experimenta o cálculo que sustenta o teste de direção

O jogo pede produtos escalares de vetores pequenos com componentes inteiras. Dá um único número. Usa o seu sinal para pensar na direção, mesmo que o jogo peça apenas o cálculo.

2 minutos de prática · continua após os erros · abre num novo separador

Experimenta produtos escalares