SumNinja

Rozpoznaj wzrost, który mnoży przy każdym kroku

Około 3 min

Dodawanie tej samej wartości i mnożenie przez ten sam czynnik mogą początkowo wyglądać podobnie. Trzecia wartość może ujawnić różnicę.

Model ogrodu zaczyna od 3 roślin i podwaja ich liczbę w każdym sezonie: 3, 6, 12, 24. Model dodający trzy zaczyna się od 3, 6, 9, 12. Pierwsze dwie liczby są takie same. Trzecia pokazuje, czy reguła dodaje, czy mnoży.

Zamień podwajanie we wzór

Niech x oznacza liczbę sezonów, a y liczbę roślin. Oblicz liczbę roślin po dwóch sezonach.

  1. Zapisz wartość początkową

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Tutaj x oznacza liczbę sezonów, a y liczbę roślin. Zanim nastąpi podwojenie, liczba pozostaje równa trzy. Dla zera kroków zapisujemy 2⁰ = 1.

  2. Odczytaj potęgę jako powtarzające się czynniki

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    Wykładnik to mała liczba zapisana u góry. Tutaj określa liczbę czynników równych dwa. Nie oznacza dwóch razy liczba sezonów.

  3. Sprawdź jeszcze jeden sezon

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Podwój dwanaście, aby otrzymać dwadzieścia cztery. Dodawana wartość rośnie, ale czynnik mnożenia pozostaje równy dwa.

Ten sam czynnik tworzy coraz większe skoki

Liczba zaczyna się od trzech. Po jednym sezonie wynosi sześć, a po dwóch dwanaście. Wykres zakrzywia się, ponieważ dodawana wartość rośnie.

Połącz wzorzec z krzywą

Stały czynnik przy równych krokach oznacza wzrost wykładniczy. Stały przyrost oznacza wzór liniowy. Jeśli oba wzorce wydają się możliwe, sprawdź trzy wartości, a nie tylko dwie.

Na dolnej osi wykres przedstawia sezony, a na bocznej liczbę roślin. W miarę wzrostu dodawanej wartości krzywa staje się bardziej stroma. Liczby dla pełnych sezonów dają wyraźne punkty kontrolne.

Gładka krzywa pokazuje też wzór między tymi punktami. Nie musi tam oznaczać całych roślin. Prawdziwe rośliny nie mogą podwajać się bez końca, bo zabraknie miejsca i pożywienia. To model wzorca.

Spróbuj samodzielnie

Oblicz odpowiedź i wyjaśnij swój tok rozumowania. Następnie sprawdź wyjaśnienie.

Użyj innego czynnika wzrostu

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Oblicz wartość po trzech krokach. Wyjaśnij, czym powtarzana zmiana różni się od dodawania trzech.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

Wartości to 2, 6, 18 i 54.

Odróżnij potęgi od prostych

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Który wzór podwaja wynik przy każdym kroku? Użyj tylu wartości, aby rozróżnić oba wzorce.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
4⋅2x4\cdot2^x

Pierwszy daje 4, 8, 16. Drugi daje 4, 6, 8, ponieważ za każdym razem dodaje dwa.

Rozróżnij dwa takie same początki

y=2×2xy=2\times2^x

Oba dają dwa dla zera i cztery dla jednego. Co dzieje się w następnym kroku?

Wykres A

Pierwsze trzy wartości to dwa, cztery i sześć.

Wykres B

Pierwsze trzy wartości to dwa, cztery i osiem.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
Wykres B\text{Wykres B}

Podwajanie daje osiem dla x = 2. Pasuje Wykres B. Wykres A nadal dodaje dwa, więc daje sześć.

Gdy dodatkowa liczba przesuwa krzywą

We wzorze y = 2ˣ + 3 dodaj trzy po obliczeniu potęgi. Dla x = 0, 1 i 2 otrzymasz 4, 5 i 7. Te pełne wyniki się nie podwajają. Gdy wzór zawiera dodatkowe przesunięcie, obliczaj punkty z całości.

We wzorze y = −2ˣ znak minus zmienia znak każdej wysokości. Krzywa znajduje się poniżej zera. Nie zmienia podstawy w liczbę ujemną.

Sprawdź wzorzec wzrostu

Dopasuj wzory do wykresów. Sprawdź początek i kilka późniejszych wartości. Uwzględnij w pełnym wzorze każdy dodatkowy mnożnik lub dodaną liczbę.

2 minuty ćwiczeń · kontynuuj po błędach · otwiera nową kartę

Wypróbuj pytania o wykresy funkcji wykładniczych