SumNinja

Znajdź brakujący wykładnik za pomocą logarytmów

Około 3 min

Logarytm znajduje brakujący wykładnik. Cztery rundy podwajania zmieniają jeden punkt w szesnaście, więc log₂(16) = 4.

Wynik w grze zaczyna się od jednego i podwaja po każdej rundzie. Wiesz, że osiągnął szesnaście. Aby znaleźć liczbę rund, cofnij obliczenia od tego wyniku. To właśnie robi logarytm. Mała 2 w zapisie log₂ wskazuje, że trzeba użyć potęg liczby dwa.

Odtwórz liczbę rund podwajania

log₂(16) = ? → 2^? = 16

  1. Przetłumacz zapis

    log⁡2(16)=?⟺2?=16\log_2(16)=?\quad\Longleftrightarrow\quad2^{?}=16

    Podstawa jest czynnikiem używanym wielokrotnie. Przy podstawie dwa pytasz, która potęga liczby dwa daje szesnaście.

  2. Policz kroki podwajania

    1→2→4→8→161\to2\to4\to8\to16

    Od jednego następują cztery zmiany. Wartość początkowa nie jest rundą podwajania.

  3. Sprawdź przez potęgowanie

    24=16⇒log⁡2(16)=42^4=16\quad\Rightarrow\quad\log_2(16)=4

    Cztery czynniki równe dwa odtwarzają wynik. Logarytm zwraca ten wykładnik, czyli brakującą potęgę.

Docelowy wynik biegnie w poziomie, a liczba rund w pionie

Jeden punkt wymaga zera rund, dwa wymagają jednej, cztery dwóch, a osiem trzech. Podwojenie docelowego wyniku zwiększa wysokość o jeden.

Zbuduj wykres na podstawie tego samego pytania

Dla y = log₂(x) niech x oznacza docelowy wynik, a y wymaganą liczbę rund. Wynik równy osiem wymaga trzech rund, więc (8, 3) jest punktem na wykresie.

Wyniki 1, 2, 4 i 8 odpowiadają 0, 1, 2 i 3 rundom. Każde podwojenie przesuwa wysokość o jeden w górę. Odstępy między wynikami rosną, więc krzywa wznosi się coraz wolniej.

Potęga liczby dwa jest zawsze większa od zera. Nie może dać zera ani ujemnego wyniku docelowego, więc ten wykres wymaga x większego od zera. Pół punktu oznacza cofnięcie się o jeden krok podwajania: 2⁻¹ = 1/2, więc log₂(1/2) = −1.

Zmień podstawę, a nie znaczenie

Przy podstawie trzy każdy krok potraja wartość początkową. Ponieważ 3² = 9, log₃(9) = 2. Zadanie pozostaje takie samo: odtworzyć wykładnik. Możesz też umieścić wynik między znanymi potęgami bez znajdowania jego dokładnej wartości.

Spróbuj samodzielnie

Oblicz odpowiedź i wyjaśnij swój tok rozumowania. Następnie sprawdź wyjaśnienie.

Zmień wynik docelowy

log⁡2(32)\log_2(32)

Ile rund podwajania potrzeba, aby przejść od jednego do tego wyniku?

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
55

2⁵ = 32, więc brakujący wykładnik to 5.

Odczytaj inną podstawę

log⁡3(81)\log_3(81)

Która potęga liczby trzy daje wynik docelowy? Sprawdź, mnożąc w przód.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
44

3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Oszacuj między znanymi potęgami

log⁡2(12)\log_2(12)

Użyj potęg tuż poniżej i powyżej dwunastu, aby umieścić brakujący wykładnik.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
3<log⁡2(12)<43<\log_2(12)<4

Ponieważ 2³ = 8 i 2⁴ = 16, wykładnik dający dwanaście leży między trzema a czterema.

Wybierz wykres liczby rund względem wyniku

y=log⁡2(x)y=\log_2(x)

Który wykres daje właściwą liczbę rund, gdy docelowy wynik wynosi jeden?

Wykres A

Dla wyników jeden, dwa i cztery wysokości wynoszą zero, jeden i dwa.

Wykres B

Dla wyników jeden, dwa i cztery wysokości wynoszą dwa, trzy i cztery.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
Wykres A\text{Wykres A}

Wynik równy jeden wymaga zera rund podwajania. Wykres A zawiera punkt (1, 0). Wykres B ma dodatkowe każdą wysokość zwiększoną o dwa.

Dlaczego skala logarytmiczna może pomóc

Zwykła skala używa równych odstępów dla równych przyrostów: jeden, dwa, trzy, cztery. Skala logarytmiczna o podstawie dwa używa równych odstępów dla podwojeń: jeden, dwa, cztery, osiem. Dzięki temu mała przestrzeń może pokazać bardzo duże zmiany.

Skala logarytmiczna zmienia odstępy na osi. Powyższy wykres przedstawia natomiast logarytm na zwykłych osiach. Te pojęcia są ze sobą związane, ale nie są tym samym obrazem.

Odczytaj przesunięty lub odwrócony wykres logarytmu

Liczba przed logarytmem mnoży jego wynik. We wzorze y = 2log₂(x) dla x = 4 otrzymujesz 2 × 2 = 4.

We wzorze y = log₂(x) + 2 dodaj dwa do każdej wysokości. Dla x = 1 otrzymujesz więc y = 2. Znak minus przed logarytmem odwraca krzywą do góry nogami. Przed wybraniem wykresu sprawdź znaną potęgę w pełnym wzorze.

Wypróbuj połączenie z wykresem

Gra prosi o dopasowanie wzorów logarytmicznych do wykresów. Użyj wyniku docelowego, który jest znaną potęgą, a potem sprawdź jego wysokość. Uwzględnij wszystkie zmiany w pełnym wzorze.

2 minuty ćwiczeń · kontynuuj po błędach · otwiera nową kartę

Wypróbuj pytania o wykresy funkcji logarytmicznych