SumNinja

Zrozum sinus i cosinus za pomocą jednego okręgu

Około 4 min

Sinus śledzi wysokość punktu poruszającego się po okręgu. Cosinus śledzi jego położenie w poziomie. Nanieś te wartości podczas jednego obrotu, aby powstały dwie fale.

Światło w grze porusza się po okręgu. Chcesz śledzić jego wysokość i odróżniać dwa wykresy falowe. Poniższy okrąg ma jedną jednostkę od środka do krawędzi. Wysokość jego końcówki to sinus, a położenie w poziomie to cosinus. Obracanie wskazówki zmienia obie wartości jednocześnie.

Współrzędne na okręgu jednostkowym Promień wynosi jeden. Po prawej: 0 stopni, współrzędne (1, 0). U góry: 90 stopni lub pi przez dwa, współrzędne (0, 1). Po lewej: 180 stopni lub pi, współrzędne (-1, 0). U dołu: 270 stopni lub trzy pi przez dwa, współrzędne (0, -1). Cosinus jest współrzędną poziomą, a sinus pionową. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Niebieski pokazuje ruch w lewo i w prawo: cosinus. Zielony pokazuje wysokość: sinus. Promień wynosi jeden. Pełny obrót to 360°, czyli 2π radianów.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Sinus: zielona linia ciągła. Cosinus: niebieska linia przerywana. Kąt odczytaj na dole, a wartość na okręgu z boku.

Śledź ten sam punkt podczas obrotu

Odczytaj parę jako (cosinus, sinus): najpierw położenie w poziomie, potem wysokość.

  1. Zacznij najbardziej po prawej

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    Końcówka leży jedną jednostkę na prawo od środka i nie ma wysokości. Zacznij tutaj, a potem obracaj przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

  2. Obróć o ćwierć obrotu do góry

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    Wartość pozioma osiąga zero, a wysokość jeden. Dwa znaczniki na falach pokazują te wartości dla tego samego kąta.

  3. Obróć o kolejną ćwiartkę w lewo

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Położenie na lewo od środka oznacza ujemną wartość poziomą. Wysokość znów wynosi zero. Na dole wysokość wynosi minus jeden.

Zobacz, dlaczego fale zaczynają się inaczej

Na wykresach falowych kąt znajduje się na dolnej osi, a wartość z okręgu na bocznej. Dla zera zielona fala sinusa zaczyna się od zera, a niebieska przerywana fala cosinusa od jednego.

Po ćwierci obrotu sinus osiąga jeden, a cosinus zero. Użyj sterowania, aby dopasować dwie wartości z okręgu do dwóch znaczników. Pełny obrót przywraca punkt i obie fale do położeń początkowych.

Okrąg ma promień jeden: odległość od środka do krawędzi wynosi jeden. Dlatego ani wysokość, ani położenie w poziomie nie może przekroczyć jednego ani minus jednego. Obie fale pozostają między tymi granicami.

Odczytaj ten sam obrót w stopniach lub radianach

Stopnie i radiany to dwie jednostki kąta. Pełny obrót to 360° albo 2π radianów. Symbol π oznacza około 3,14. Pół obrotu to π radianów, a ćwierć obrotu to π/2.

Gra z wykresami używa radianów. Zanim porównasz wysokość, odczytaj opisy kątów. Wartość na fali jest położeniem z okręgu, a nie kolejnym kątem.

Spróbuj samodzielnie

Oblicz odpowiedź i wyjaśnij swój tok rozumowania. Następnie sprawdź wyjaśnienie.

Odczytaj punkt po lewej stronie

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Która wartość oznacza wysokość, a która położenie w poziomie?

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Cosinus daje położenie w poziomie, −1. Sinus daje wysokość równą zero.

Odczytaj punkt na dole

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Jaką wysokość osiąga światło na dole okręgu?

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
−1-1

Punkt znajduje się jedną jednostkę poniżej środka, więc jego sinus wynosi −1.

Wybierz cosinus spośród dwóch fal

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Sprawdź, gdzie światło zaczyna dla kąta zero, a potem porównaj ćwierć obrotu.

Wykres A

Dla zera wartość wynosi zero. Po ćwierci obrotu wynosi jeden.

Wykres B

Dla zera wartość wynosi jeden. Po ćwierci obrotu wynosi zero.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
Wykres B\text{Wykres B}

Cosinus zaczyna się od jednego i osiąga zero po ćwierci obrotu. Pasuje Wykres B. Wykres A śledzi natomiast wysokość, więc przedstawia sinus.

Zmień wysokość lub szybkość fali

We wzorze y = 2sin(x) podwój każdą wysokość. Fala biegnie od minus dwóch do dwóch i nadal powtarza się po 2π. Dodanie jednego przesuwa całą falę o jeden w górę.

We wzorze y = sin(2x) kąt zmienia się dwa razy szybciej. Jedna pełna fala mieści się teraz w π radianów. Odczytaj początek, wysokość i długość okresu z pełnego wzoru.

Znak minus przed funkcją odwraca falę do góry nogami: y = −sin(x). Jej maksima stają się minimami. Sprawdź jeden znany kąt, aby zobaczyć, w którą stronę biegnie.

Potrafisz odróżnić te fale?

Wybierz pytania o wykres sinusa lub cosinusa. Sprawdź początek, wysokość i długość okresu. Gra używa radianów i może rozciągać lub przesuwać podstawową falę.

2 minuty ćwiczeń · kontynuuj po błędach · otwiera nową kartę

Wypróbuj wykresy sinusa Wypróbuj wykresy cosinusa