SumNinja

Dlaczego wykresy tangensa mają przerwy

Około 3 min

Tangens porównuje, jak daleko kierunek prowadzi w górę i w bok. Podziel wysokość przez położenie w poziomie. Kierunek pionowo w górę nie ma szerokości, więc jego wykres ma przerwę.

Wyobraź sobie celowanie wskaźnikiem w grze. Poniższy okrąg ma jedną jednostkę od środka do krawędzi. Wysokość końcówki to sinus, a jej położenie w poziomie to cosinus. Tangens dzieli wysokość przez to położenie. Obróć wskaźnik, aby zobaczyć, dlaczego celowanie pionowo w górę powoduje problem.

Współrzędne na okręgu jednostkowym Promień wynosi jeden. Po prawej: 0 stopni, współrzędne (1, 0). U góry: 90 stopni lub pi przez dwa, współrzędne (0, 1). Po lewej: 180 stopni lub pi, współrzędne (-1, 0). U dołu: 270 stopni lub trzy pi przez dwa, współrzędne (0, -1). Cosinus jest współrzędną poziomą, a sinus pionową. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Niebieski pokazuje ruch w lewo i w prawo: cosinus. Zielony pokazuje wysokość: sinus. Promień wynosi jeden. Pełny obrót to 360°, czyli 2π radianów.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Śledź wskaźnik w trzech kierunkach

Odczytaj tangens jako wysokość ÷ położenie w poziomie.

  1. Skieruj poziomo w prawo

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Końcówka leży jedną jednostkę na prawo od środka i nie ma wysokości. Zero podzielone przez jeden daje zero.

  2. Nadaj wysokości i szerokości tę samą wielkość

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    Dla 45 stopni obie długości są równe i dodatnie. Dzielenie równych długości daje jeden.

  3. Skieruj pionowo w górę

    tan⁡(90∘)=10nieokresˊlony\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{nieokreślony}

    Na górze położenie w poziomie wynosi zero. Żadna liczba pomnożona przez zero nie może dać wysokości równej jeden, więc to dzielenie nie ma wyniku.

Kierunek pionowy tworzy przerwę

Każda strona przerwy należy do osobnego fragmentu krzywej. Nigdy nie rysuj linii przez brakującą wartość.

Połącz kierunek z wykresem

Na wykresie kąt znajduje się na dolnej osi, a tangens na bocznej. Kierunek poziomy daje punkt (0, 0). Dla 45°, czyli π/4 radianów, wartość wynosi jeden.

Gdy wskaźnik zbliża się do kierunku pionowego, jego wysokość pozostaje bliska jednemu, a długość pozioma maleje. Dzielenie przez tę malutką długość daje duży wynik.

Tuż po minięciu kierunku pionowego położenie w poziomie staje się ujemne, a wysokość pozostaje dodatnia. Wynik staje się ujemny. Wykres składa się z osobnych fragmentów rozdzielonych przerwą. Sama przerwa nie jest nieskończonością.

Odczytaj opisy kątów

Zarówno stopnie, jak i radiany mierzą obroty. Pełny obrót to 360° albo 2π radianów. Symbol π oznacza około 3,14. Ćwierć obrotu to 90°, czyli π/2 radianów. Gra używa radianów.

Pół obrotu odwraca oba znaki, więc iloraz pozostaje taki sam. Tangens powtarza się zatem co 180°, czyli co π radianów. Jego przerwy wypadają dla π/2, następnie 3π/2 i tak dalej.

Spróbuj samodzielnie

Oblicz odpowiedź i wyjaśnij swój tok rozumowania. Następnie sprawdź wyjaśnienie.

Obróć poniżej poziomu

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Skieruj wskaźnik o jedną ósmą obrotu poniżej kierunku w prawo. Jaką wartość ma tam tangens?

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
−1-1

Sinus jest ujemny, a cosinus dodatni. Ich wartości bezwzględne są równe, więc wynik to −1.

Rozpoznaj wartość nieokreśloną

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Co dzieje się z tangensem dla tego kąta? Wyjaśnij, dlaczego nie może wynosić zero.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
nieokresˊlony\text{nieokreślony}

Żadna liczba pomnożona przez zero nie daje jednego, więc 1 ÷ 0 nie ma wyniku. Nie jest ani zerem, ani nieskończonością.

Wybierz wykres, który może mieć przerwy

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Oba przechodzą przez zero. Który może przedstawiać kierunek pionowy bez określonego ilorazu?

Wykres A

Osobne fragmenty mają przerwy po ćwierci obrotu, a potem po każdym półobrocie.

Wykres B

Jedna gładka fala pozostaje od minus jednego do jednego bez przerw.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
Wykres A\text{Wykres A}

Wykres A ma przerwy tam, gdzie położenie w poziomie wynosi zero. Wykres B bez przerw pozostaje od minus jednego do jednego, więc nie może przedstawiać tangensa.

Gdy gra rozciąga wykres

We wzorze y = 2tan(x) podwój każdą wysokość na wykresie. Przerwy pozostają w swoich miejscach. Dodanie liczby przesuwa wykres w górę lub w dół. Znak minus odwraca wysokości, ale nie zmienia kątów, w których są przerwy.

We wzorze y = tan(2x) wskaźnik obraca się dwa razy szybciej. Wykres powtarza się po π/2 zamiast po π. Jego przerwy także zbliżają się do siebie. Przed wyborem sprawdź pełny wzór.

Sprawdź pomysł z przerwami

Dopasuj wzory tangensa do wykresów. Szukaj znanej wartości, przerw i odległości do powtórzenia kształtu. Gra używa radianów.

2 minuty ćwiczeń · kontynuuj po błędach · otwiera nową kartę

Wypróbuj pytania o wykresy tangensa