SumNinja

Se vekst som ganges for hvert trinn

Ca. 3 min

Å legge til det samme beløpet og å gange med den samme faktoren kan se likt ut i starten. En tredje verdi kan vise forskjellen.

En hagemodell starter med 3 planter og dobler antallet hver sesong: 3, 6, 12, 24. En modell som legger til tre starter 3, 6, 9, 12. De to første antallene er like. Det tredje viser om regelen legger til eller ganger.

Gjør dobling om til en regel

La x telle sesonger og y telle planter. Finn antallet etter to sesonger.

  1. Skriv opp startverdien

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Her teller x sesonger og y teller planter. Før noen dobling har skjedd, er antallet fortsatt tre. Vi skriver 2⁰ = 1 for null trinn.

  2. Les potensen som gjentatte faktorer

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    Eksponenten er det lille tallet som står hevet. Her teller det antall faktorer av to. Det betyr ikke to ganger sesongnummeret.

  3. Sjekk én sesong til

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Doble tolv for å få tjuefire. Beløpet som legges til, blir større, men faktoren du ganger med, er fortsatt to.

Den samme faktoren gir stadig større hopp

Antallet starter på tre. Etter én sesong er det seks, etter to er det tolv. Grafen bøyer seg fordi beløpet som legges til, blir større.

Knytt mønsteret til kurven

En fast faktor i like store trinn kjennetegner eksponentiell vekst. En fast økning kjennetegner en lineær regel. Sjekk tre verdier i stedet for bare to hvis begge mønstrene virker mulige.

Grafen viser sesonger langs bunnen og antall planter oppover langs siden. Når beløpet som legges til, blir større, blir kurven brattere. Verdiene for hele sesonger gir tydelige punkter å sjekke.

Den jevne kurven viser også regelen mellom disse punktene. Der trenger den ikke å telle hele planter. Ekte planter kan ikke fortsette å dobles for alltid: plass og næring tar slutt. Dette er en modell av et mønster.

Prøv selv

Finn et svar og forklar hvordan du tenkte. Sjekk deretter forklaringen.

Bruk en annen vekstfaktor

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Finn antallet etter tre trinn. Forklar hvordan den gjentatte endringen er forskjellig fra å legge til tre.

Vis svaretSkjul svaret
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

Verdiene er 2, 6, 18 og 54.

Se forskjell på potenser og rette linjer

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Hvilken regel dobler resultatet sitt for hvert trinn? Bruk nok verdier til å se forskjell på de to mønstrene.

Vis svaretSkjul svaret
4⋅2x4\cdot2^x

Den første gir 4, 8, 16. Den andre gir 4, 6, 8 fordi den legger til to hver gang.

Se forskjell på to like starter

y=2×2xy=2\times2^x

Begge gir to når x = 0 og fire når x = 1. Hva skjer ved neste trinn?

Graf A

De tre første verdiene er to, fire og seks.

Graf B

De tre første verdiene er to, fire og åtte.

Vis svaretSkjul svaret
Graf B\text{Graf B}

Dobling gir åtte når x = 2. Graf B passer. Graf A fortsetter å legge til to, så den gir seks.

Når et ekstra tall forskyver kurven

I y = 2ˣ + 3 legger du til tre etter at du har regnet ut potensen. Når x = 0, 1 og 2, får du 4, 5 og 7. Disse hele resultatene dobles ikke. Regn ut punkter fra hele regelen når den inneholder en ekstra forskyvning.

I y = −2ˣ endrer minustegnet fortegnet til hver y-verdi. Kurven ligger under null. Det gjør ikke grunntallet negativt.

Sett vekstmønsteret på prøve

Koble regler til grafer. Sjekk startverdien og noen senere verdier. Ta med eventuell ekstra faktor eller tall som legges til, i hele regelen.

2 minutters øvelse · fortsett etter feil · åpnes i en ny fane

Prøv oppgaver med eksponentielle grafer