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내적으로 방향 비교하기

약 3분

내적의 결과는 하나의 수입니다. 그 부호를 보면 바라보는 방향을 기준으로 목표가 앞, 옆 또는 뒤에 있는지 알 수 있습니다.

게임 말이 (2, 1) 방향, 즉 오른쪽으로 2, 위로 1인 방향을 봅니다. 목표는 말에서 (−1, 3), 즉 왼쪽으로 1, 위로 3만큼 떨어져 있습니다. 목표가 앞에 있을까요, 뒤에 있을까요? 내적은 두 벡터를 하나의 수로 바꾸며 그 수의 부호가 질문에 답합니다.

바라보는 방향과 목표 비교하기

(2, 1)과 (−1, 3)의 내적을 구하세요.

  1. 서로 대응하는 성분 곱하기

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    목표의 왼쪽 성분은 오른쪽을 바라보는 성분과 반대로 작용합니다. 위쪽 성분은 위를 바라보는 성분과 같은 방향으로 작용합니다.

  2. 두 결과 더하기

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    3이 −2보다 커서 양수인 답이 남습니다. 결과는 순서쌍 (−2, 3)이 아니라 하나의 수인 스칼라입니다.

  3. 방향 질문에 답하기

    1>0⇒앞쪽1>0\quad\Rightarrow\quad\text{앞쪽}

    목표는 바라보는 방향의 앞쪽 절반에 있습니다. 앞쪽이라는 말이 같은 직선 위에 있다는 뜻은 아닙니다.

목표는 화면에서 왼쪽이지만 A의 앞쪽에 있습니다

A는 바라보는 방향을, B는 목표를 나타냅니다. 색칠한 절반은 A의 앞쪽입니다. 점선 경계는 A와 직각을 이룹니다.

그림에서 앞쪽 절반 읽기

경계선은 말의 위치에서 바라보는 방향과 직각으로 교차합니다. 그 선 위의 목표는 앞쪽 성분이 0입니다. 선 너머의 목표들은 앞쪽 또는 뒤쪽 절반에 놓입니다.

영벡터가 아닌 두 벡터에서 내적이 양수이면 두 벡터의 각은 90°보다 작습니다. 음수이면 90°보다 크고, 0이면 직각입니다. 직각인 두 벡터를 수직이라고도 합니다.

따라서 목표가 화면 왼쪽에 있더라도 부호로 유용하게 판단할 수 있습니다. 단순히 왼쪽과 오른쪽을 비교하지 말고 바라보는 방향과 비교하세요.

직접 해보기

먼저 답을 구하고 풀이를 설명해 보세요. 그런 다음 해설을 확인하세요.

직각 찾아내기

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

하나의 수인 결과를 계산하세요. 그 부호는 두 벡터의 각에 대해 무엇을 알려 주나요?

정답 보기정답 숨기기
00

2와 −2를 더하면 0이므로 영벡터가 아닌 이 두 벡터는 직각으로 만납니다.

하나의 수로 답하기

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

순서쌍 대신 하나의 수를 구하세요. 두 곱을 합쳐야 하는 이유를 설명하세요.

정답 보기정답 숨기기
55

−1 × 3 + 2 × 4를 계산하세요. −3 + 8 = 5입니다.

게임에서 판단하는 데 결과 사용하기

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

이 방향을 기준으로 목표가 앞, 뒤 또는 정확히 옆에 있나요?

정답 보기정답 숨기기
뒤쪽\text{뒤쪽}

내적은 −2입니다. 오른쪽을 바라볼 때 목표의 왼쪽 위치는 뒤쪽으로 계산됩니다. 위쪽 성분은 그 부호를 바꾸지 않습니다.

결과가 크다고 각이 더 작은 것은 아닌 이유

한 벡터를 2배 해도 각은 그대로지만 내적은 2배가 됩니다. 따라서 값은 두 길이의 영향도 받습니다. 단위벡터의 길이는 1입니다. 길이의 영향을 없애려면 단위벡터를 사용하세요.

영벡터는 어떤 벡터와 내적해도 0입니다. 하지만 방향이 없으므로 이 경우는 직각을 나타내지 않습니다. 각에 관한 규칙에는 영벡터가 아닌 두 벡터가 필요합니다.

방향 판단에 쓰이는 계산 연습하기

게임에서는 성분이 작은 정수인 벡터의 내적을 묻습니다. 하나의 수로 답하세요. 게임은 계산을 묻지만 그 부호를 이용해 방향도 생각해 보세요.

2분 연습 · 틀려도 계속 진행 · 새 탭에서 열림

내적 연습하기