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탄젠트 그래프가 끊어지는 이유

약 3분

탄젠트는 어떤 방향이 위쪽과 옆쪽으로 얼마나 가는지 비교합니다. 높이를 좌우 값으로 나누세요. 똑바로 위를 향하면 너비가 없으므로 그래프가 끊어집니다.

게임에서 화살표로 방향을 조준한다고 해 보세요. 아래 원은 중심에서 가장자리까지의 거리가 1입니다. 끝점의 높이는 사인이고 좌우 값은 코사인입니다. 탄젠트는 높이를 그 좌우 값으로 나눕니다. 화살표를 돌려 똑바로 위를 조준할 때 왜 문제가 생기는지 살펴보세요.

단위원 위의 좌표 반지름은 1입니다. 오른쪽은 0도, 좌표 (1, 0)입니다. 위쪽은 90도 또는 파이/2, 좌표 (0, 1)입니다. 왼쪽은 180도 또는 파이, 좌표 (-1, 0)입니다. 아래쪽은 270도 또는 3파이/2, 좌표 (0, -1)입니다. 코사인은 가로 좌표이고 사인은 세로 좌표입니다. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
파란색은 좌우 위치인 코사인, 초록색은 높이인 사인을 나타내요. 반지름은 1입니다. 한 바퀴는 360° 또는 2π 라디안입니다.

cos ≈ 0.707; sin ≈ 0.707; tan = 1

세 방향으로 화살표 따라가기

탄젠트를 높이 ÷ 좌우 위치로 읽으세요.

  1. 오른쪽을 수평으로 조준하기

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    끝점은 중심에서 오른쪽으로 1만큼 떨어져 있고 높이는 0입니다. 0을 1로 나누면 0입니다.

  2. 높이와 너비를 같은 크기로 만들기

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    45도에서는 두 길이가 같고 둘 다 양수입니다. 같은 길이끼리 나누면 1입니다.

  3. 똑바로 위를 조준하기

    tan⁡(90∘)=10정의되지 않음\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{정의되지 않음}

    맨 위에서는 좌우 위치가 0입니다. 어떤 수에 0을 곱해도 높이 1이 될 수 없으므로 이 나눗셈에는 답이 없습니다.

수직으로 조준하면 그래프가 끊어집니다

끊어진 곳의 양쪽은 각각 서로 다른 곡선 조각입니다. 값이 없는 곳을 가로질러 선을 그리지 마세요.

조준 방향을 그래프와 연결하기

그래프는 아래쪽 축에 각도를, 세로축에 탄젠트를 놓습니다. 수평으로 조준하면 (0, 0)입니다. 45°, 즉 π/4라디안에서는 값이 1입니다.

화살표가 수직 위쪽에 가까워질 때 높이는 1에 가깝게 유지되지만 좌우 길이는 줄어듭니다. 그 아주 작은 길이로 나누면 결과가 커집니다.

수직 위쪽을 막 지나면 높이는 여전히 양수이지만 좌우 위치는 음수가 됩니다. 따라서 결과가 음수가 됩니다. 그래프는 사이가 끊어진 별개의 조각들로 이루어집니다. 끊어진 지점 자체가 무한대인 것은 아닙니다.

각도 표시 읽기

도와 라디안은 모두 회전을 측정합니다. 한 바퀴는 360° 또는 2π라디안입니다. 기호 π는 약 3.14입니다. 4분의 1바퀴는 90° 또는 π/2라디안입니다. 게임에서는 라디안을 사용합니다.

반 바퀴를 돌면 두 값의 부호가 모두 바뀌므로 비는 그대로입니다. 따라서 탄젠트는 180°, 즉 π라디안마다 반복됩니다. 그래프는 π/2에서 끊어지고 그다음에는 3π/2에서 끊어지는 식입니다.

직접 해보기

먼저 답을 구하고 풀이를 설명해 보세요. 그런 다음 해설을 확인하세요.

수평선 아래로 돌리기

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

오른쪽 방향에서 아래로 8분의 1바퀴 돌려 조준하세요. 이곳에서 탄젠트의 값은 무엇인가요?

정답 보기정답 숨기기
−1-1

사인은 음수이고 코사인은 양수입니다. 두 값의 크기가 같으므로 답은 −1입니다.

정의되지 않는 값 찾기

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

이 각도에서 탄젠트는 어떻게 되나요? 0이 될 수 없는 이유를 설명하세요.

정답 보기정답 숨기기
정의되지 않음\text{정의되지 않음}

어떤 수에 0을 곱해도 1이 되지 않으므로 1 ÷ 0에는 답이 없습니다. 0도 무한대도 아닙니다.

끊어질 수 있는 그래프 고르기

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

두 그래프 모두 0을 지납니다. 정의된 비가 없는 수직 조준을 나타낼 수 있는 것은 어느 것인가요?

그래프 A

별개의 곡선 조각들이 4분의 1바퀴 지점과 그 뒤 반 바퀴마다 끊어집니다.

그래프 B

하나의 매끄러운 파동이 끊어지지 않고 −1과 1 사이에 있습니다.

정답 보기정답 숨기기
그래프 A\text{그래프 A}

그래프 A는 좌우 값이 0인 곳에서 끊어집니다. 그래프 B는 끊어지지 않고 −1과 1 사이에 있으므로 탄젠트가 될 수 없습니다.

게임에서 그래프를 늘릴 때

y = 2tan(x)에서는 그래프의 모든 높이를 2배 합니다. 끊어지는 곳은 그대로입니다. 수를 더하면 그래프가 위나 아래로 이동합니다. 음수 부호는 높이를 뒤집지만 그래프가 끊어지는 각도는 그대로 둡니다.

y = tan(2x)에서는 화살표가 2배 빠르게 돕니다. 그래프는 π가 아니라 π/2 뒤에 반복됩니다. 끊어지는 지점 사이도 더 가까워집니다. 선택하기 전에 전체 함수를 확인하세요.

그래프가 끊어지는 원리 확인하기

탄젠트 함수와 그래프를 짝지으세요. 알고 있는 값, 그래프가 끊어지는 곳과 모양이 반복되기 전까지의 거리를 살펴보세요. 게임에서는 라디안을 사용합니다.

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탄젠트 그래프 문제 풀기