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하나의 원으로 사인과 코사인 이해하기

약 3분

사인은 원을 도는 점의 높이를 따라가고 코사인은 그 점의 좌우 값을 따라갑니다. 한 바퀴 도는 동안 이 값들을 그리면 두 파동이 만들어집니다.

게임의 빛이 원을 따라 돈다고 해 보세요. 그 높이를 추적하고 두 파동 그래프를 구별하려고 합니다. 아래 원은 중심에서 가장자리까지의 거리가 1입니다. 끝점의 높이는 사인이고 좌우 값은 코사인입니다. 화살표를 돌리면 두 값이 동시에 변합니다.

단위원 위의 좌표 반지름은 1입니다. 오른쪽은 0도, 좌표 (1, 0)입니다. 위쪽은 90도 또는 파이/2, 좌표 (0, 1)입니다. 왼쪽은 180도 또는 파이, 좌표 (-1, 0)입니다. 아래쪽은 270도 또는 3파이/2, 좌표 (0, -1)입니다. 코사인은 가로 좌표이고 사인은 세로 좌표입니다. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
파란색은 좌우 위치인 코사인, 초록색은 높이인 사인을 나타내요. 반지름은 1입니다. 한 바퀴는 360° 또는 2π 라디안입니다.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

사인은 초록색 실선, 코사인은 파란색 점선입니다. 아래쪽에서 각도를, 옆쪽에서 원 위의 값을 읽으세요.

한 바퀴 도는 동안 같은 점 따라가기

순서쌍을 (코사인, 사인), 즉 좌우 값 다음 높이로 읽으세요.

  1. 맨 오른쪽에서 시작하기

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    끝점은 중심에서 오른쪽으로 1만큼 떨어져 있고 높이는 0입니다. 여기서 시작해 반시계 방향으로 도세요.

  2. 4분의 1바퀴 돌아 맨 위로 가기

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    좌우 값은 0이 되고 높이는 1이 됩니다. 두 파동의 표시점은 같은 각도에서 이 두 값을 보여 줍니다.

  3. 4분의 1바퀴 더 돌아 왼쪽으로 가기

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    중심의 왼쪽은 좌우 값이 음수라는 뜻입니다. 높이는 다시 0입니다. 맨 아래에서는 높이가 −1이 됩니다.

두 파동의 시작이 다른 이유 알아보기

파동 그래프는 아래쪽 축에 각도를, 세로축에 원에서 얻은 값을 놓습니다. 각도가 0일 때 초록색 사인 파동은 0에서 시작하고 파란색 점선 코사인 파동은 1에서 시작합니다.

4분의 1바퀴를 돌면 사인은 1, 코사인은 0이 됩니다. 조절 장치를 사용해 원의 두 값과 파동의 두 표시점을 맞춰 보세요. 한 바퀴를 돌면 점과 두 파동이 모두 시작점으로 돌아옵니다.

원의 반지름은 1입니다. 즉 중심에서 가장자리까지의 거리가 1입니다. 따라서 높이와 좌우 값은 1보다 크거나 −1보다 작을 수 없습니다. 두 파동 모두 이 범위 안에 있습니다.

같은 회전을 도와 라디안으로 읽기

도와 라디안은 각도를 재는 두 단위입니다. 한 바퀴는 360° 또는 2π라디안입니다. 기호 π는 약 3.14입니다. 반 바퀴는 π라디안이고 4분의 1바퀴는 π/2입니다.

그래프 게임에서는 라디안을 사용합니다. 높이를 비교하기 전에 각도 표시를 읽으세요. 파동의 값은 또 다른 각도가 아니라 원 위 점의 위치입니다.

직접 해보기

먼저 답을 구하고 풀이를 설명해 보세요. 그런 다음 해설을 확인하세요.

왼쪽 점 읽기

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

어느 값이 높이를 나타내고 어느 값이 좌우 위치를 나타내나요?

정답 보기정답 숨기기
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

코사인은 좌우 값인 −1을 나타냅니다. 사인은 높이인 0을 나타냅니다.

아래쪽 점 읽기

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

빛이 원의 맨 아래에 있을 때 높이는 얼마인가요?

정답 보기정답 숨기기
−1-1

점이 중심보다 1만큼 아래에 있으므로 사인은 −1입니다.

두 파동 중 코사인 고르기

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

각도가 0일 때 빛이 어디에서 시작하는지 확인한 다음 4분의 1바퀴 뒤와 비교하세요.

그래프 A

0일 때 값은 0이고 4분의 1바퀴일 때 1입니다.

그래프 B

0일 때 값은 1이고 4분의 1바퀴일 때 0입니다.

정답 보기정답 숨기기
그래프 B\text{그래프 B}

코사인은 1에서 시작해 4분의 1바퀴 뒤 0이 됩니다. 그래프 B가 맞습니다. 그래프 A는 높이를 따라가므로 사인입니다.

파동의 높이나 속도 바꾸기

y = 2sin(x)에서는 모든 높이를 2배 합니다. 파동은 −2에서 2까지 움직이며 여전히 2π마다 반복됩니다. 1을 더하면 파동 전체가 1만큼 위로 이동합니다.

y = sin(2x)에서는 각도가 2배 빠르게 변합니다. 이제 하나의 완전한 파동이 π라디안 안에 들어갑니다. 전체 함수에서 시작값, 높이와 반복 길이를 읽으세요.

앞에 음수 부호가 있으면 파동은 위아래로 뒤집힙니다. y = −sin(x)에서는 높은 곳이 낮은 곳이 됩니다. 알고 있는 각도 하나를 확인해 어느 방향으로 움직이는지 알아보세요.

두 파동을 구별할 수 있나요?

사인이나 코사인 그래프 문제를 선택하세요. 시작값, 높이와 반복 길이를 확인하세요. 게임에서는 라디안을 사용하며 기본 파동을 늘리거나 이동할 수도 있습니다.

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