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Utiliser un produit scalaire pour comparer des directions

Environ 4 min

Un produit scalaire donne un seul nombre. Son signe indique si une cible se trouve devant, sur le côté ou derrière la direction regardée.

Une pièce de jeu est orientée selon (2, 1) : deux unités vers la droite et une vers le haut. Une cible se trouve à (−1, 3) par rapport à elle : une unité vers la gauche et trois vers le haut. Est-elle devant ou derrière ? Un produit scalaire transforme les deux vecteurs en un nombre dont le signe répond à cette question.

Compare la cible à la direction regardée

Calcule le produit scalaire de (2, 1) et (−1, 3).

  1. Multiplie les composantes correspondantes

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    La composante de la cible dirigée vers la gauche agit à l'encontre de la composante de l'orientation dirigée vers la droite. Sa composante vers le haut agit dans le même sens que celle de l'orientation.

  2. Additionne les deux contributions

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Trois l'emporte sur moins deux, ce qui donne une réponse positive. Le résultat est un scalaire : un seul nombre, et non la paire (−2, 3).

  3. Réponds à la question de direction

    1>0⇒devant1>0\quad\Rightarrow\quad\text{devant}

    La cible se trouve du côté avant de la direction regardée. Devant ne signifie pas qu'elle est exactement sur la même ligne.

La cible se trouve à gauche de l'écran, mais devant A

A donne la direction regardée et B indique la cible. La moitié ombrée se trouve devant A. La limite en pointillés marque un angle droit avec A.

Lis le côté avant de l'image

La limite traverse la pièce à angle droit par rapport à la direction regardée. Une cible sur cette ligne a une contribution vers l'avant nulle. Les cibles situées au-delà de cette ligne se trouvent soit du côté avant, soit du côté arrière.

Pour deux vecteurs non nuls, un produit scalaire positif correspond à un angle inférieur à 90°. Un résultat négatif correspond à un angle supérieur à 90°. Zéro correspond à un angle droit, aussi appelé angle perpendiculaire.

Le signe fournit donc un test utile même lorsque la cible se trouve à gauche de l'écran. Compare sa position à la direction regardée, pas seulement à la gauche et à la droite.

À vous d’essayer

Cherchez une réponse et expliquez votre raisonnement. Ensuite, vérifiez l’explication.

Repère un angle droit

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Calcule le résultat unique. Quelle relation entre les angles son signe révèle-t-il ?

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00

Les résultats 2 et −2 s'additionnent pour donner zéro : ces vecteurs non nuls se rencontrent donc à angle droit.

Donne un seul nombre

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Trouve le nombre unique plutôt qu'une paire. Explique pourquoi les deux produits doivent être combinés.

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55

Calcule −1 × 3 + 2 × 4. Cela donne −3 + 8 = 5.

Utilise le résultat pour prendre une décision dans le jeu

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

La cible se trouve-t-elle devant, derrière ou exactement sur le côté de cette direction ?

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Derrieˋre\text{Derrière}

Le produit scalaire vaut moins deux. Lorsque l'on regarde vers la droite, la position de la cible vers la gauche compte comme derrière. Sa composante vers le haut ne change pas ce signe.

Pourquoi un grand résultat ne correspond pas à un angle plus petit

L'angle reste le même lorsque tu doubles un vecteur, mais le produit scalaire double. Sa valeur dépend donc des deux longueurs. Un vecteur unitaire a une longueur de un. Utilise des vecteurs unitaires pour supprimer l'effet de la longueur.

Le produit scalaire d'un vecteur nul avec n'importe quel vecteur vaut zéro. Mais le vecteur nul n'a pas de direction : ce cas n'indique donc pas un angle droit. La règle des angles nécessite deux vecteurs non nuls.

Essaie le calcul qui permet de comparer les directions

Le jeu demande des produits scalaires de petits vecteurs à composantes entières. Donne un seul nombre. Utilise son signe pour réfléchir à la direction, même si le jeu demande uniquement le calcul.

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Essayer les produits scalaires