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Pourquoi les graphiques de la tangente comportent des interruptions

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La tangente compare les distances verticale et horizontale d'une direction. Divise la hauteur par la position horizontale. Une visée verticale n'a aucune largeur : son graphique comporte donc une interruption.

Imagine que tu diriges un pointeur dans un jeu. Le rayon du cercle ci-dessous mesure une unité. La hauteur de son extrémité correspond au sinus ; sa position horizontale au cosinus. La tangente divise la hauteur par cette position horizontale. Fais tourner le pointeur pour comprendre pourquoi une visée verticale pose problème.

Coordonnées sur le cercle trigonométrique Le rayon vaut un. À droite : 0 degré, coordonnées (1, 0). En haut : 90 degrés, ou pi sur deux, coordonnées (0, 1). À gauche : 180 degrés, ou pi, coordonnées (-1, 0). En bas : 270 degrés, ou trois pi sur deux, coordonnées (0, -1). Le cosinus est la coordonnée horizontale et le sinus la verticale. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Le bleu suit les déplacements vers la gauche et la droite : le cosinus. Le vert suit la hauteur : le sinus. Le rayon vaut un. Un tour complet fait 360°, soit 2π radians.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Suis le pointeur dans trois directions

Lis la tangente comme la hauteur ÷ la position horizontale.

  1. Vise horizontalement vers la droite

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    L'extrémité se trouve à une unité à droite du centre, à une hauteur nulle. Zéro divisé par un donne zéro.

  2. Donne la même valeur à la hauteur et à la largeur

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    À 45 degrés, les deux longueurs sont égales et positives. Diviser deux longueurs égales donne un.

  3. Vise verticalement vers le haut

    tan⁡(90∘)=10non deˊfinie\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{non définie}

    En haut, la position horizontale vaut zéro. Aucun nombre multiplié par zéro ne peut donner une hauteur de un : cette division n'a donc aucune réponse.

Une visée verticale crée une interruption

Chaque côté d'une interruption appartient à une partie distincte de la courbe. Ne trace jamais de ligne par-dessus la valeur manquante.

Relie la visée au graphique

Sur le graphique, l'angle est placé sur l'axe horizontal et la tangente sur l'axe vertical. Une visée horizontale donne (0, 0). À 45°, soit π/4 radians, la valeur est un.

Lorsque le pointeur s'approche de la verticale, sa hauteur reste proche de un tandis que sa longueur horizontale diminue. La division par cette toute petite longueur donne un résultat très grand.

Juste après la verticale, la position horizontale devient négative tandis que la hauteur reste positive. Le résultat devient négatif. Le graphique se compose de parties distinctes séparées par une interruption. L'interruption elle-même n'est pas l'infini.

Lis les étiquettes des angles

Les degrés et les radians mesurent tous deux les rotations. Un tour complet vaut 360°, soit 2π radians. Le symbole π vaut environ 3,14. Un quart de tour vaut 90°, soit π/2 radians. Le jeu utilise les radians.

Un demi-tour inverse les deux signes, ce qui conserve le même rapport. La tangente se répète donc tous les 180°, soit π radians. Ses interruptions se trouvent à π/2, puis à 3π/2, et ainsi de suite.

À vous d’essayer

Cherchez une réponse et expliquez votre raisonnement. Ensuite, vérifiez l’explication.

Tourne sous l'horizontale

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Vise un huitième de tour sous la direction de droite. Quelle est alors la valeur de la tangente ?

Afficher la réponseMasquer la réponse
−1-1

Le sinus est négatif et le cosinus positif. Leurs valeurs absolues sont égales, donc la réponse est −1.

Repère une valeur non définie

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Que se passe-t-il pour la tangente à cet angle ? Explique pourquoi elle ne peut pas valoir zéro.

Afficher la réponseMasquer la réponse
non deˊfinie\text{non définie}

Aucun nombre multiplié par zéro ne donne un, donc 1 ÷ 0 n'a aucune réponse. Ce n'est ni zéro ni l'infini.

Choisis un graphique qui peut être interrompu

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Les deux passent par zéro. Lequel peut représenter une visée verticale dont le rapport n'est pas défini ?

Graphique A

Des parties distinctes sont séparées par des interruptions à un quart de tour, puis tous les demi-tours.

Graphique B

Une onde lisse reste entre moins un et un sans interruption.

Afficher la réponseMasquer la réponse
Graphique A\text{Graphique A}

Le graphique A comporte des interruptions lorsque la position horizontale vaut zéro. Le graphique B reste entre moins un et un sans interruption : il ne peut donc pas représenter la tangente.

Quand le jeu étire le graphique

Dans y = 2tan(x), double chaque hauteur du graphique. Les interruptions restent à leur place. Ajouter un nombre déplace le graphique vers le haut ou le bas. Un signe moins retourne les hauteurs, mais conserve les mêmes angles d'interruption.

Dans y = tan(2x), le pointeur tourne deux fois plus vite. Le graphique se répète après π/2 au lieu de π. Ses interruptions se rapprochent aussi. Vérifie la fonction complète avant de choisir.

Mets l'idée des interruptions à l'épreuve

Associe les fonctions tangentes à leurs graphiques. Cherche une valeur connue, les interruptions et la distance au bout de laquelle la forme se répète. Le jeu utilise les radians.

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