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Comprendre le sinus et le cosinus avec un seul cercle

Environ 4 min

Le sinus suit la hauteur d'un point autour d'un cercle. Le cosinus suit sa position horizontale. Trace ces valeurs au cours d'un tour pour former deux ondes.

Dans un jeu, une lumière tourne en cercle. Tu veux suivre sa hauteur et distinguer les deux courbes ondulées. Le rayon du cercle ci-dessous mesure une unité. La hauteur de son extrémité correspond au sinus, et sa position horizontale au cosinus. Faire tourner l'aiguille modifie les deux en même temps.

Coordonnées sur le cercle trigonométrique Le rayon vaut un. À droite : 0 degré, coordonnées (1, 0). En haut : 90 degrés, ou pi sur deux, coordonnées (0, 1). À gauche : 180 degrés, ou pi, coordonnées (-1, 0). En bas : 270 degrés, ou trois pi sur deux, coordonnées (0, -1). Le cosinus est la coordonnée horizontale et le sinus la verticale. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Le bleu suit les déplacements vers la gauche et la droite : le cosinus. Le vert suit la hauteur : le sinus. Le rayon vaut un. Un tour complet fait 360°, soit 2π radians.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Sinus : trait vert plein. Cosinus : trait bleu en pointillés. Lisez l’angle en bas et la valeur du cercle sur l’axe vertical.

Suis le même point pendant un tour

Lis la paire comme (cosinus, sinus) : d'abord la position horizontale, puis la hauteur.

  1. Pars de l'extrémité droite

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    L'extrémité se trouve à une unité à droite du centre et sa hauteur est nulle. Pars d'ici, puis tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

  2. Effectue un quart de tour vers le haut

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    La position horizontale atteint zéro tandis que la hauteur atteint un. Les deux marqueurs des ondes montrent ces valeurs au même angle.

  3. Effectue encore un quart de tour vers la gauche

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Une position à gauche du centre correspond à une valeur horizontale négative. La hauteur est de nouveau nulle. En bas, la hauteur devient moins un.

Comprends pourquoi les ondes commencent différemment

Sur les graphiques ondulés, l'angle est placé sur l'axe horizontal et la valeur du cercle sur l'axe vertical. À zéro, l'onde verte du sinus commence à zéro ; l'onde bleue en pointillés du cosinus commence à un.

Après un quart de tour, le sinus atteint un tandis que le cosinus atteint zéro. Utilise la commande pour faire correspondre les deux valeurs du cercle aux deux marqueurs. Un tour complet ramène le point et les deux ondes à leur position de départ.

Le rayon du cercle vaut un : la distance entre son centre et son bord est une unité. Ni la hauteur ni la position horizontale ne peuvent donc dépasser un ou moins un. Les deux ondes restent entre ces limites.

Lis le même tour en degrés ou en radians

Les degrés et les radians sont deux unités d'angle. Un tour complet vaut 360°, soit 2π radians. Le symbole π vaut environ 3,14. Un demi-tour vaut π radians et un quart de tour vaut π/2.

Le jeu de graphiques utilise les radians. Lis les étiquettes des angles avant de comparer une hauteur. La valeur sur l'onde est une position issue du cercle, et non un autre angle.

À vous d’essayer

Cherchez une réponse et expliquez votre raisonnement. Ensuite, vérifiez l’explication.

Lis le point de gauche

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Quelle valeur donne la hauteur et laquelle donne la position horizontale ?

Afficher la réponseMasquer la réponse
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Le cosinus donne la position horizontale, −1. Le sinus donne la hauteur, zéro.

Lis le point du bas

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Quelle hauteur la lumière atteint-elle au bas du cercle ?

Afficher la réponseMasquer la réponse
−1-1

Le point se trouve à une unité sous le centre, son sinus vaut donc −1.

Choisis le cosinus parmi deux ondes

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Vérifie la position de départ de la lumière à l'angle zéro, puis compare le quart de tour.

Graphique A

À zéro, la valeur est zéro. Après un quart de tour, elle vaut un.

Graphique B

À zéro, la valeur vaut un. Après un quart de tour, elle vaut zéro.

Afficher la réponseMasquer la réponse
Graphique B\text{Graphique B}

Le cosinus commence à un et atteint zéro après un quart de tour. Le graphique B convient. Le graphique A suit plutôt la hauteur : il correspond donc au sinus.

Modifie la hauteur ou la vitesse d'une onde

Dans y = 2sin(x), double chaque hauteur. L'onde va de moins deux à deux et se répète toujours après 2π. Ajouter un déplace toute l'onde d'une unité vers le haut.

Dans y = sin(2x), l'angle change deux fois plus vite. Une onde complète tient maintenant dans π radians. Lis le départ, la hauteur et la période dans la fonction complète.

Un signe moins placé devant retourne l'onde : y = −sin(x). Ses sommets deviennent des creux. Vérifie un angle connu pour voir dans quel sens elle va.

Sauras-tu distinguer les deux ondes ?

Choisis des questions sur les graphiques du sinus ou du cosinus. Vérifie le départ, la hauteur et la période. Le jeu utilise les radians et peut étirer ou déplacer l'onde de base.

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