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Trouve la puissance manquante avec les logarithmes

Environ 4 min

Un logarithme permet de trouver une puissance manquante. En doublant quatre fois, on passe de un point à seize, donc log₂(16) = 4.

Un score de jeu commence à un et double après chaque manche. Tu sais qu’il a atteint seize. Pour trouver le nombre de manches, il faut remonter à partir de ce score. C’est exactement ce que fait un logarithme. Le petit 2 dans log₂ indique qu’il faut utiliser les puissances de deux.

Retrouver le nombre de doublements

log₂(16) = ? → 2^? = 16

  1. Traduire l’écriture

    log⁡2(16)=?⟺2?=16\log_2(16)=?\quad\Longleftrightarrow\quad2^{?}=16

    La base, c’est le facteur qu’on utilise encore et encore. Avec la base deux, on cherche quelle puissance de deux donne seize.

  2. Compter les étapes de doublement

    1→2→4→8→161\to2\to4\to8\to16

    Il y a quatre changements, en partant de un. La valeur de départ ne compte pas comme une étape de doublement.

  3. Vérifier en calculant la puissance

    24=16⇒log⁡2(16)=42^4=16\quad\Rightarrow\quad\log_2(16)=4

    Quatre facteurs égaux à deux permettent de retrouver le score. Un logarithme renvoie cet exposant : c’est la puissance manquante.

Le score visé se lit à l’horizontale ; les manches montent en hauteur

Un point demande zéro manche, deux en demandent une, quatre en demandent deux et huit en demandent trois. Quand on double le score visé, on ajoute un à la hauteur.

Construire un graphique à partir de la même question

Pour y = log₂(x), on peut prendre x comme score visé et y comme nombre de manches nécessaires. Un score de huit demande trois manches, donc (8, 3) est un point du graphique.

Les scores 1, 2, 4 et 8 donnent les manches 0, 1, 2 et 3. Chaque doublement fait monter la hauteur de un. Les écarts entre les scores grandissent, donc la courbe monte de plus en plus lentement.

Une puissance de deux reste supérieure à zéro. Elle ne peut pas donner zéro ni une valeur visée négative, donc ce graphique demande x strictement supérieur à zéro. Un demi-point revient à reculer d’une étape de doublement : 2⁻¹ = 1/2, donc log₂(1/2) = −1.

Changer la base, pas le sens

Avec la base trois, chaque étape triple la valeur de départ. Comme 3² = 9, log₃(9) = 2. Le rôle reste le même : retrouver la puissance. On peut aussi placer une valeur visée entre des puissances connues sans trouver sa valeur exacte.

À vous d’essayer

Cherchez une réponse et expliquez votre raisonnement. Ensuite, vérifiez l’explication.

Changer la valeur visée

log⁡2(32)\log_2(32)

Combien de doublements permettent d’atteindre cette valeur visée à partir de un ?

Afficher la réponseMasquer la réponse
55

2⁵ = 32, donc la puissance manquante est 5.

Lire une autre base

log⁡3(81)\log_3(81)

Quelle puissance de trois permet d’atteindre la valeur visée ? Vérifie en multipliant pour retrouver le résultat.

Afficher la réponseMasquer la réponse
44

3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Estimer entre des puissances repères

log⁡2(12)\log_2(12)

Utilise les puissances juste en dessous et juste au-dessus de douze pour placer la puissance manquante.

Afficher la réponseMasquer la réponse
3<log⁡2(12)<43<\log_2(12)<4

Comme 2³ = 8 et 2⁴ = 16, la puissance qui donne douze se situe entre trois et quatre.

Choisir le graphique manches-en-fonction-du-score

y=log⁡2(x)y=\log_2(x)

Quel graphique donne le bon nombre de manches quand le score visé vaut un ?

Graphique A

Pour les scores un, deux et quatre, les hauteurs sont zéro, un et deux.

Graphique B

Pour les scores un, deux et quatre, les hauteurs sont deux, trois et quatre.

Afficher la réponseMasquer la réponse
Graphique A\text{Graphique A}

Un score de un demande zéro doublement. Le graphique A contient le point (1, 0). Le graphique B ajoute deux à chaque hauteur.

Pourquoi une échelle logarithmique peut aider

Une échelle ordinaire utilise des écarts égaux pour des additions égales : un, deux, trois, quatre. Une échelle logarithmique en base deux utilise des écarts égaux pour les doublements : un, deux, quatre, huit. Cela permet de représenter de très grands changements dans un petit espace.

Une échelle logarithmique modifie l’espacement d’un axe. Le graphique ci-dessus, lui, représente un logarithme sur des axes ordinaires. Les idées sont liées, mais ce n’est pas le même type de représentation.

Lire un graphique logarithmique décalé ou renversé

Un nombre placé devant le log multiplie son résultat. Dans y = 2log₂(x), x = 4 donne 2 × 2 = 4.

Dans y = log₂(x) + 2, on ajoute deux à chaque hauteur. Donc x = 1 donne y = 2. Un signe moins devant le log renverse la courbe. Vérifie une puissance connue dans la règle complète avant de choisir.

Teste le lien avec le graphique

Le jeu te demande d’associer des règles sur les logarithmes à des graphiques. Prends une valeur visée qui correspond à une puissance que tu connais, puis vérifie sa hauteur. Pense à inclure toutes les modifications dans la règle complète.

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