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Reconnaître une fonction quadratique et sa courbe

Environ 3 min

Une fonction carrée donne des hauteurs identiques de part et d'autre de son milieu. Utilise ce motif et le changement de sens pour vérifier la courbe.

La carte d'un jeu décrit une vallée avec y = x² − 1. Ici, x donne la position horizontale et y donne la hauteur. Le petit 2 signifie que x est multiplié par lui-même. Trouve le point le plus bas, puis vérifie une paire de hauteurs identiques pour choisir la bonne courbe.

Trouve le fond de la vallée et deux côtés symétriques

Lis la courbe de y = x² − 1.

  1. Vérifie le milieu de cette vallée

    x=0⇒y=02−1=−1x=0\Rightarrow y=0^2-1=-1

    Un carré n'est jamais négatif. Zéro donne le plus petit carré : cette vallée atteint donc son point le plus bas en (0, −1).

  2. Déplace-toi de deux unités de chaque côté

    22−1=3;(−2)2−1=32^2-1=3;\quad(-2)^2-1=3

    Deux fois deux et moins deux fois moins deux donnent tous deux quatre. Soustraire un donne la même hauteur de chaque côté.

  3. Vérifie la forme entière

    (−2,3),(0,−1),(2,3)(-2,3),\quad(0,-1),\quad(2,3)

    La courbe descend vers son point le plus bas, puis remonte en s'en éloignant. Ces trois points t'aident à écarter une courbe qui n'a pas la bonne hauteur.

Un seul fond, deux côtés symétriques

La vallée atteint la hauteur moins un en son milieu. À deux unités à gauche ou à droite, sa hauteur est trois.

Qu'est-ce qui rend la fonction quadratique ?

Dans une fonction quadratique, x² est la plus grande puissance de x. Sa courbe est une parabole : une forme avec deux côtés symétriques et un seul changement de sens. Elle peut s'ouvrir vers le haut comme une vallée, ou vers le bas comme une arche.

Dans y = 2x² − 1, double le carré avant de soustraire un. Les côtés montent plus vite. Dans y = −x² + 3, le signe moins oriente vers le bas la partie au carré. Le point le plus haut est (0, 3).

Dans ces exemples, le changement de sens se trouve à x = 0. D'autres fonctions quadratiques peuvent le déplacer vers la gauche ou la droite. Calcule à partir de la fonction complète au lieu de te fier uniquement à une forme en U.

À vous d’essayer

Cherchez une réponse et expliquez votre raisonnement. Ensuite, vérifiez l’explication.

Calcule un point

y=2x2+1,x=−2y=2x^2+1,\qquad x=-2

À quelle hauteur se trouve cette courbe lorsque x vaut moins deux ?

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2⋅(−2)2+1=92\cdot(-2)^2+1=9

Élève −2 au carré pour obtenir 4. Multiplie le résultat par 2, puis ajoute 1.

Garde la soustraction à l'extérieur du carré

22−1=(2−1)2  ?2^2-1=(2-1)^2\;?

Calcule la hauteur à partir de la fonction réelle. Pourquoi les parenthèses ajoutées changent-elles le résultat ?

Afficher la réponseMasquer la réponse
22−1=3≠(2−1)22^2-1=3\ne(2-1)^2

La fonction élève x au carré avant de soustraire 1. Les parenthèses créent une nouvelle fonction.

Choisis une arche plutôt qu'une vallée

y=−x2+3y=-x^2+3

Les deux rencontrent l'axe vertical à trois. Laquelle a la bonne forme et la bonne hauteur pour x = 2 ?

Graphique A

Son point le plus bas est (0, 3). Pour deux, la hauteur est sept.

Graphique B

Son point le plus haut est (0, 3). Pour deux, la hauteur est moins un.

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Graphique B\text{Graphique B}

Le signe moins ouvre la courbe vers le bas. Pour x = 2, la fonction donne moins un. Le graphique B correspond aux deux indices.

Vérifie le changement de sens et un autre point

Associe les fonctions carrées à leurs courbes. Vérifie si la courbe s'ouvre vers le haut ou vers le bas, où elle change de sens et un point calculé.

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