SumNinja

Se vækst der ganges for hvert trin

Ca. 3 min.

At lægge det samme til og gange med den samme faktor kan ligne hinanden i starten. En tredje værdi kan vise forskellen.

En havemodel starter med 3 planter og fordobler antallet hver sæson: 3, 6, 12, 24. En model der lægger tre til, starter 3, 6, 9, 12. De første to antal passer sammen. Det tredje viser om reglen lægger til eller ganger.

Lav en regel for fordobling

Lad x tælle sæsoner og y tælle planter. Find antallet efter to sæsoner.

  1. Skriv startværdien ned

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Her tæller x sæsoner, og y tæller planter. Før nogen fordobling er antallet stadig tre. Vi skriver 2⁰ = 1 for nul trin.

  2. Læs potensen som gentagne faktorer

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    Eksponenten er det lille hævede tal. Her tæller det faktorer af to. Det betyder ikke to gange sæsonnummeret.

  3. Tjek én sæson mere

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Fordobl tolv, så får du fireogtyve. Det der lægges til, vokser, men faktoren man ganger med, er stadig to.

Den samme faktor giver større spring i væksten

Antallet starter på tre. Efter én sæson er det seks, efter to er det tolv. Grafen krummer, fordi det der lægges til, vokser.

Knyt mønstret til kurven

En fast faktor ved lige store trin kendetegner eksponentiel vækst. En fast stigning kendetegner en lineær regel. Tjek tre værdier i stedet for kun to, hvis begge mønstre ser mulige ud.

Grafen viser sæsoner langs bunden og antallet af planter op ad siden. Når det der lægges til, vokser, bliver kurven stejlere. Antallene for hele sæsoner giver tydelige punkter at tjekke.

Den glatte kurve viser også reglen mellem de punkter. Der behøver den ikke tælle hele planter. Rigtige planter kan ikke blive ved med at fordobles for evigt: plads og næring slipper op. Det her er en model af et mønster.

Prøv selv

Regn dig frem til et svar og forklar, hvordan du tænker. Tjek derefter forklaringen.

Brug en anden vækstfaktor

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Find antallet efter tre trin. Forklar hvordan den gentagne ændring adskiller sig fra at lægge tre til.

Vis svaretSkjul svaret
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

Værdierne er 2, 6, 18 og 54.

Se forskel på potenser og rette linjer

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Hvilken regel fordobler sit resultat for hvert trin? Brug nok værdier til at se forskel på de to mønstre.

Vis svaretSkjul svaret
4⋅2x4\cdot2^x

Den første giver 4, 8, 16. Den anden giver 4, 6, 8, fordi den lægger to til hver gang.

Se forskel på to ens starter

y=2×2xy=2\times2^x

Begge giver to ved nul og fire ved én. Hvad sker der ved næste trin?

Graf A

De første tre værdier er to, fire og seks.

Graf B

De første tre værdier er to, fire og otte.

Vis svaretSkjul svaret
Graf B\text{Graf B}

Fordobling giver otte ved x = 2. Graf B passer. Graf A bliver ved med at lægge to til, så den giver seks.

Når et ekstra tal flytter kurven

I y = 2ˣ + 3 lægger du tre til efter potensen. Ved x = 0, 1 og 2 får du 4, 5 og 7. De samlede resultater bliver ikke fordoblet. Beregn punkter ud fra hele reglen, når den indeholder en ekstra forskydning.

I y = −2ˣ ændrer minustegnet fortegnet på hver y-værdi. Kurven ligger under nul. Det gør ikke grundtallet negativt.

Sæt vækstmønstret på prøve

Match regler med grafer. Tjek starten og nogle senere værdier. Tag en ekstra faktor eller et ekstra tal der lægges til med i hele reglen.

2 minutters øvelse · fortsæt efter fejl · åbner i en ny fane

Prøv opgaver med eksponentielle grafer