SumNinja

Find den manglende eksponent med logaritmer

Ca. 4 min.

En logaritme finder en manglende eksponent. Fire runder med fordobling gør ét point til seksten, så log₂(16) = 4.

En spilscore starter på en og bliver fordoblet efter hver runde. Du ved, at den nåede seksten. For at finde antallet af runder arbejder du baglæns ud fra den score. Det er det, en logaritme gør. Det lille 2-tal i log₂ fortæller dig, at du skal bruge toerpotenser.

Find antallet af fordoblingsrunder igen

log₂(16) = ? → 2^? = 16

  1. Oversæt notationen

    log⁡2(16)=?⟺2?=16\log_2(16)=?\quad\Longleftrightarrow\quad2^{?}=16

    Basen er den faktor, du bruger igen og igen. Med base to spørger du, hvilken toerpotens der giver seksten.

  2. Tæl fordoblingstrinene

    1→2→4→8→161\to2\to4\to8\to16

    Der er fire ændringer med start fra en. Startværdien er ikke en fordoblingsrunde.

  3. Tjek ved at opløfte i potensen

    24=16⇒log⁡2(16)=42^4=16\quad\Rightarrow\quad\log_2(16)=4

    Fire faktorer af to genskaber scoren. En logaritme giver den eksponent tilbage, og det er den manglende eksponent.

Målscoren går vandret, og runderne går opad

Ét point kræver nul runder, to kræver én, fire kræver to, og otte kræver tre. Når målscoren fordobles, stiger højden med én.

Lav en graf ud fra det samme spørgsmål

For y = log₂(x) lader du x være målscoren og y være de nødvendige runder. En score på otte kræver tre runder, så (8, 3) er et punkt på grafen.

Scorerne 1, 2, 4 og 8 giver runderne 0, 1, 2 og 3. Hver fordobling flytter højden én op. Afstanden mellem scorerne vokser, så kurven stiger langsommere.

En toerpotens er altid større end nul. Den kan ikke give nul eller en negativ målscore, så denne graf kræver x over nul. Et halvt point betyder, at du går ét fordoblingstrin baglæns: 2⁻¹ = 1/2, så log₂(1/2) = −1.

Skift base, ikke betydning

Med base tre tredobler hvert trin starten. Da 3² = 9, er log₃(9) = 2. Opgaven er den samme: find eksponenten igen. Du kan også placere en målscore mellem kendte potenser uden at finde den præcise værdi.

Prøv selv

Regn dig frem til et svar og forklar, hvordan du tænker. Tjek derefter forklaringen.

Skift målscoren

log⁡2(32)\log_2(32)

Hvor mange fordoblingsrunder når dette mål fra en?

Vis svaretSkjul svaret
55

2⁵ = 32, så den manglende eksponent er 5.

Læs en anden base

log⁡3(81)\log_3(81)

Hvilken potens af tre når målet? Tjek ved at gange tilbage.

Vis svaretSkjul svaret
44

3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Vurdér mellem kendte potenser

log⁡2(12)\log_2(12)

Brug potenserne lige under og lige over tolv til at placere den manglende eksponent.

Vis svaretSkjul svaret
3<log⁡2(12)<43<\log_2(12)<4

Da 2³ = 8 og 2⁴ = 16, ligger den eksponent, der giver tolv, mellem tre og fire.

Vælg grafen for runder ud fra score

y=log⁡2(x)y=\log_2(x)

Hvilken graf giver det rigtige antal runder, når målscoren er en?

Graf A

Ved scorerne en, to og fire er højderne nul, en og to.

Graf B

Ved scorerne en, to og fire er højderne to, tre og fire.

Vis svaretSkjul svaret
Graf A\text{Graf A}

En score på en kræver nul fordoblingsrunder. Graf A indeholder (1, 0). Graf B har to ekstra i hver højde.

Hvorfor en logaritmisk skala kan hjælpe

En almindelig skala bruger lige store mellemrum til lige store læg til: en, to, tre, fire. En logskala med base to bruger lige store mellemrum til fordobling: en, to, fire, otte. Det gør, at et lille område kan vise meget store ændringer.

En logskala ændrer afstanden på en akse. Grafen ovenfor tegner i stedet en logaritme på almindelige akser. Idéerne hænger sammen, men det er ikke det samme billede.

Læs en forskudt eller spejlvendt loggraf

Et tal foran logaritmen ganger dens resultat. I y = 2log₂(x) giver x = 4 værdien 2 × 2 = 4.

I y = log₂(x) + 2 lægger du to til hver højde. Så giver x = 1 værdien y = 2. Et minustegn foran logaritmen vender kurven på hovedet. Tjek en kendt potens i hele reglen, før du vælger.

Prøv sammenhængen med grafer

I spillet skal du matche logaritmeregler med grafer. Brug et mål, som er en potens, du kender, og tjek så højden. Tag alle ændringer med i hele reglen.

2 minutters øvelse · fortsæt efter fejl · åbner i en ny fane

Prøv spørgsmål om logaritmiske grafer