SumNinja

Forstå sinus og cosinus med én cirkel

Ca. 4 min.

Sinus følger et punkts højde rundt på en cirkel. Cosinus følger dets venstre-højre-værdi. Tegn de værdier gennem en omdrejning, så får du to bølger.

Et spillys bevæger sig rundt i en cirkel. Du vil følge dets højde og kunne se forskel på de to bølgegrafer. Cirklen nedenfor måler en enhed fra centrum til kant. Spidsens højde er sinus, og dens venstre-højre-værdi er cosinus. Når viseren drejer, ændrer begge sig samtidig.

Koordinater på en enhedscirkel Radius er 1. Til højre: 0 grader, koordinater (1, 0). Øverst: 90 grader eller pi halvt, koordinater (0, 1). Til venstre: 180 grader eller pi, koordinater (-1, 0). Nederst: 270 grader eller tre pi halvt, koordinater (0, -1). Cosinus er den vandrette koordinat, og sinus er den lodrette. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blå følger venstre og højre: cosinus. Grøn følger højden: sinus. Radius er 1. En hel omgang er 360° eller 2π radianer.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Sinus: fuldt optrukken grøn. Cosinus: stiplet blå. Aflæs vinklen nederst og cirklens værdi op ad siden.

Følg det samme punkt gennem en omdrejning

Læs parret som (cosinus, sinus): først venstre-højre, derefter højde.

  1. Start helt til højre

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    Spidsen er en enhed til højre for centrum og har ingen højde. Start her, og drej så mod uret.

  2. Drej en kvart omgang op til toppen

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    Sideværdien bliver 0, mens højden bliver 1. De to markører på bølgerne viser disse værdier ved den samme vinkel.

  3. Drej endnu en kvart omgang til venstre

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Til venstre for centrum betyder en negativ venstre-højre-værdi. Højden er tilbage ved 0. Nederst bliver højden −1.

Se hvorfor bølgerne starter forskelligt

Bølgegraferne har vinkel langs bunden og cirklens værdi op ad siden. Ved nul starter den grønne sinusbølge ved 0, mens den stiplede blå cosinusbølge starter ved 1.

Ved en kvart omgang når sinus op på 1, mens cosinus når 0. Brug styringen til at matche cirklens to værdier med de to markører. En hel omdrejning bringer punktet og begge bølger tilbage til deres start.

Cirklen har radius 1: afstanden fra centrum til kant er 1. Derfor kan hverken højden eller venstre-højre-værdien blive større end 1 eller mindre end −1. Begge bølger holder sig inden for de grænser.

Læs den samme omdrejning i grader eller radianer

Grader og radianer er to enheder for vinkel. En hel omdrejning er 360° eller 2π radianer. Symbolet π er cirka 3,14. En halv omdrejning er π radianer, og en kvart omdrejning er π/2.

Grafspillet bruger radianer. Læs dets vinkelmærker, før du sammenligner en højde. Værdien på bølgen er en position fra cirklen, ikke en ny vinkel.

Prøv selv

Regn dig frem til et svar og forklar, hvordan du tænker. Tjek derefter forklaringen.

Læs punktet til venstre

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Hvilken værdi giver højden, og hvilken giver venstre-højre-positionen?

Vis svaretSkjul svaret
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Cosinus giver venstre-højre-værdien, −1. Sinus giver højden, 0.

Læs punktet nederst

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Hvilken højde når lyset ved bunden af sin cirkel?

Vis svaretSkjul svaret
−1-1

Punktet ligger en enhed under centrum, så dets sinus er −1.

Vælg cosinus blandt to bølger

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Tjek hvor lyset starter ved vinklen 0, og sammenlign derefter med en kvart omdrejning.

Graf A

Ved 0 er værdien 0. Ved en kvart omdrejning er den 1.

Graf B

Ved 0 er værdien 1. Ved en kvart omdrejning er den 0.

Vis svaretSkjul svaret
Graf B\text{Graf B}

Cosinus starter ved 1 og når 0 efter en kvart omdrejning. Det passer med graf B. Graf A følger i stedet højden, så det er sinus.

Ændr en bølges højde eller hastighed

I y = 2sin(x) fordobler du alle højder. Bølgen går fra minus to til to og gentager sig stadig efter 2π. Hvis du lægger 1 til, flytter hele bølgen sig en opad.

I y = sin(2x) ændrer vinklen sig dobbelt så hurtigt. Nu passer en hel bølge ind i π radianer. Læs start, højde og gentagelseslængde ud fra hele reglen.

Et minustegn foran vender en bølge på hovedet: y = −sin(x). Dens toppe bliver til dale. Tjek en kendt vinkel for at se, hvilken vej den går.

Tror du, at du kan kende forskel på bølgerne?

Vælg spørgsmål om sinus- eller cosinusgrafer. Tjek start, højde og gentagelseslængde. Spillet bruger radianer og kan strække eller forskyde grundbølgen.

2 minutters øvelse · fortsæt efter fejl · åbner i en ny fane

Prøv sinusgrafer Prøv cosinusgrafer