SumNinja

Hvorfor tangensgrafer har huller

Ca. 4 min.

Tangens sammenligner, hvor langt op og hvor langt til siden en retning går. Divider højden med venstre-højre-værdien. Når du peger lige op, er der ingen bredde, så grafen får et hul.

Forestil dig, at du sigter med en markør i et spil. Cirklen nedenfor måler én enhed fra centrum til kanten. Spidsens højde er sinus, og dens venstre-højre-værdi er cosinus. Tangens dividerer højden med den venstre-højre-værdi. Drej markøren og se, hvorfor det giver problemer at pege lige op.

Koordinater på en enhedscirkel Radius er 1. Til højre: 0 grader, koordinater (1, 0). Øverst: 90 grader eller pi halvt, koordinater (0, 1). Til venstre: 180 grader eller pi, koordinater (-1, 0). Nederst: 270 grader eller tre pi halvt, koordinater (0, -1). Cosinus er den vandrette koordinat, og sinus er den lodrette. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blå følger venstre og højre: cosinus. Grøn følger højden: sinus. Radius er 1. En hel omgang er 360° eller 2π radianer.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Følg markøren i tre retninger

Læs tangens som højde ÷ placering til siden.

  1. Peg vandret mod højre

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Spidsen er én enhed til højre for centrum uden nogen højde. Nul divideret med én giver nul.

  2. Giv højde og bredde samme størrelse

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    Ved 45 grader er de to længder lige store, og begge er positive. Når du dividerer to lige store længder, får du én.

  3. Peg lige op

    tan⁡(90∘)=10ikke defineret\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{ikke defineret}

    Øverst er placeringen til siden nul. Intet tal ganget med nul kan give en højde på én, så denne division har ikke noget svar.

At pege lodret giver et brud

Hver side af et hul hører til sit eget stykke af kurven. Tegn aldrig en linje hen over den manglende værdi.

Knyt retningen til grafen

Grafen sætter vinklen langs bunden og tangens op ad siden. En vandret retning giver (0, 0). Ved 45°, eller π/4 radianer, er værdien én.

Når markøren nærmer sig lodret op, bliver højden ved med at være tæt på én, mens længden til siden bliver mindre. Når du dividerer med den lille længde, bliver resultatet stort.

Lige efter lodret op bliver placeringen til siden negativ, mens højden stadig er positiv. Resultatet bliver negativt. Grafen har adskilte stykker med et hul imellem. Selve hullet er ikke uendeligt.

Læs vinkelmærkerne

Grader og radianer måler begge drejninger. En hel omgang er 360°, eller 2π radianer. Symbolet π er cirka 3,14. En kvart omgang er 90°, eller π/2 radianer. Spillet bruger radianer.

En halv omgang vender begge fortegn, og derfor er forholdet det samme. Derfor gentager tangens sig for hver 180°, eller π radianer. Dens huller ligger ved π/2, så 3π/2 og så videre.

Prøv selv

Regn dig frem til et svar og forklar, hvordan du tænker. Tjek derefter forklaringen.

Drej under den vandrette linje

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Peg en ottendedel omgang ned under retningen mod højre. Hvilken værdi har tangens der?

Vis svaretSkjul svaret
−1-1

Sinus er negativ, og cosinus er positiv. De er lige store, så svaret er −1.

Find en udefineret værdi

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Hvad sker der med tangens ved denne vinkel? Forklar, hvorfor den ikke kan være nul.

Vis svaretSkjul svaret
ikke defineret\text{ikke defineret}

Intet tal ganget med nul giver én, så 1 ÷ 0 har ikke noget svar. Den er hverken nul eller uendelig.

Vælg en graf, der kan have brud

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Begge går gennem nul. Hvilken kan vise en lodret retning uden noget defineret forhold?

Graf A

Adskilte stykker har huller ved en kvart omgang og derefter for hver halve omgang.

Graf B

En jævn bølge holder sig mellem minus én og én uden huller.

Vis svaretSkjul svaret
Graf A\text{Graf A}

Graf A har huller, hvor venstre-højre-værdien er nul. Graf B bliver mellem minus én og én uden huller, så den kan ikke være tangens.

Når spillet strækker grafen

I y = 2tan(x) bliver alle højder på grafen fordoblet. Hullerne bliver, hvor de er. Hvis du lægger et tal til, flytter grafen sig op eller ned. Et minustegn vender højderne, men lader hullernes vinkler være de samme.

I y = tan(2x) drejer markøren dobbelt så hurtigt. Grafen gentager sig efter π/2 i stedet for π. Dens huller kommer også tættere på hinanden. Tjek hele reglen, før du vælger.

Sæt idéen om huller på prøve

Match regler for tangens med grafer. Kig efter en kendt værdi, hullerne og afstanden, før formen gentager sig. Spillet bruger radianer.

2 minutters øvelse · fortsæt efter fejl · åbner i en ny fane

Prøv spørgsmål om tangensgrafer