SumNinja

Порівнюй напрями за допомогою скалярного добутку

Приблизно 3 хв

Скалярний добуток дає одне число. Його знак показує, чи лежить ціль попереду, збоку або позаду відносно напряму погляду.

Ігрова фігура дивиться в напрямі (2, 1): дві одиниці праворуч і одна вгору. Ціль розташована від неї на (−1, 3): одну одиницю ліворуч і три вгору. Вона попереду чи позаду? Скалярний добуток перетворює два вектори на одне число, знак якого відповідає на це запитання.

Порівняй положення цілі з напрямом погляду

Знайди скалярний добуток (2, 1) і (−1, 3).

  1. Перемнож відповідні складові

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    Складова цілі ліворуч протидіє складовій погляду праворуч. Її складова вгору збігається зі складовою погляду вгору.

  2. Додай два внески

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Три переважає мінус два, тому відповідь додатна. Результат — скаляр: одне число, а не пара (−2, 3).

  3. Дай відповідь про напрям

    1>0⇒попереду1>0\quad\Rightarrow\quad\text{попереду}

    Ціль лежить із переднього боку відносно напряму погляду. «Попереду» не означає точно на тій самій лінії.

На екрані ціль ліворуч, але вона попереду від A

A показує напрям погляду, а B — ціль. Зафарбована половина лежить попереду від A. Пунктирна межа проходить під прямим кутом до A.

Визнач передній бік на рисунку

Межа проходить через фігуру під прямим кутом до напряму її погляду. Ціль на цій лінії не має внеску вперед. Цілі по різні боки від межі опиняються попереду або позаду.

Для двох ненульових векторів додатний скалярний добуток означає кут, менший за 90°. Від’ємний результат означає кут, більший за 90°. Нуль означає прямий кут; такі вектори також називають перпендикулярними.

Отже, знак дає корисну перевірку, навіть коли ціль розташована ліворуч на екрані. Порівнюй її з напрямом погляду, а не лише за положенням ліворуч або праворуч.

Спробуйте самі

Знайдіть відповідь і поясніть хід міркувань. Потім перевірте пояснення.

Розпізнай прямий кут

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Обчисли результат як одне число. Яке співвідношення між кутами показує його знак?

Показати відповідьСховати відповідь
00

Результати 2 і −2 у сумі дають нуль, тому ці ненульові вектори утворюють прямий кут.

Дай у відповідь одне число

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Знайди одне число, а не пару. Поясни, чому два добутки треба додати.

Показати відповідьСховати відповідь
55

Обчисли −1 × 3 + 2 × 4. Маємо −3 + 8 = 5.

Використай результат для рішення в грі

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Ціль попереду, позаду чи точно збоку відносно цього напряму погляду?

Показати відповідьСховати відповідь
Позаду\text{Позаду}

Скалярний добуток дорівнює мінус двом. Коли фігура дивиться праворуч, положення цілі ліворуч означає, що вона позаду. Складова вгору не змінює цього знака.

Чому більший результат не означає менший кут

Якщо подвоїти один вектор, кут не зміниться, але скалярний добуток подвоїться. Отже, значення залежить від довжин обох векторів. Одиничний вектор має довжину один. Використовуй одиничні вектори, щоб усунути вплив довжини.

Скалярний добуток нульового вектора з будь-яким вектором дорівнює нулю. Але нульовий вектор не має напряму, тому цей випадок не вказує на прямий кут. Правило про кут потребує двох ненульових векторів.

Спробуй обчислення, що лежить в основі перевірки напряму

У грі треба знаходити скалярні добутки векторів із невеликими цілими складовими. Дай одне число. За його знаком визначай напрям, навіть якщо гра просить лише виконати обчислення.

2 хвилини практики · продовжуйте після помилок · відкриється нова вкладка

Спробуй знаходити скалярні добутки