SumNinja

Jämför riktningar med en skalärprodukt

Ca 3 min

En skalärprodukt ger ett enda tal. Tecknet berättar om ett mål ligger framför, vid sidan av eller bakom blickriktningen.

En spelpjäs tittar längs (2, 1): två åt höger och ett uppåt. Ett mål ligger vid (−1, 3) relativt pjäsen: ett åt vänster och tre uppåt. Är det framför eller bakom? En skalärprodukt gör om de två vektorerna till ett tal vars tecken besvarar frågan.

Jämför målet med blickriktningen

Beräkna skalärprodukten av (2, 1) och (−1, 3).

  1. Multiplicera motsvarande komponenter

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    Målets komponent åt vänster motverkar blickens komponent åt höger. Komponenten uppåt samverkar med blickens komponent uppåt.

  2. Addera de två bidragen

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Tre väger tyngre än minus två och gör svaret positivt. Resultatet är en skalär: ett enda tal, inte paret (−2, 3).

  3. Besvara frågan om riktningen

    1>0⇒framfo¨r1>0\quad\Rightarrow\quad\text{framför}

    Målet ligger på framsidan av blickriktningen. Framför betyder inte att det ligger precis på samma linje.

Målet ligger till vänster på skärmen men framför A

A anger blickriktningen och B målet. Den färgade halvan ligger framför A. Den prickade gränsen är vinkelrät mot A.

Läs bildens framsida

Gränsen går genom spelpjäsen och är vinkelrät mot blickriktningen. Ett mål på linjen bidrar inte framåt. Mål på var sin sida om linjen ligger på framsidan eller baksidan.

För två vektorer som inte är noll betyder en positiv skalärprodukt en vinkel mindre än 90°. Ett negativt resultat betyder en vinkel större än 90°. Noll betyder en rät vinkel: vektorerna är vinkelräta mot varandra.

Tecknet ger därför en användbar kontroll även när målet ligger till vänster på skärmen. Jämför med blickriktningen, inte bara med vänster och höger.

Prova själv

Räkna ut ett svar och förklara hur du tänkte. Kontrollera sedan förklaringen.

Känn igen en rät vinkel

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Beräkna resultatet som ett enda tal. Vad berättar tecknet om vinkeln?

Visa svaretDölj svaret
00

Resultaten 2 och −2 blir tillsammans noll, så dessa två vektorer som inte är noll bildar en rät vinkel.

Ge ett enda tal

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Beräkna det enda talet, inte ett par. Förklara varför de två produkterna ska läggas ihop.

Visa svaretDölj svaret
55

Beräkna −1 × 3 + 2 × 4. Det ger −3 + 8 = 5.

Använd resultatet för ett beslut i spelet

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Ligger målet framför, bakom eller precis vid sidan av denna blickriktning?

Visa svaretDölj svaret
Bakom\text{Bakom}

Skalärprodukten är minus två. När du tittar åt höger räknas målets läge åt vänster som bakom. Komponenten uppåt ändrar inte tecknet.

Varför ett större resultat inte betyder en mindre vinkel

Vinkeln förblir densamma om du dubblar en vektor, men skalärprodukten dubblas. Värdet beror alltså på båda längderna. En enhetsvektor har längden ett. Använd enhetsvektorer för att ta bort längdernas påverkan.

En nollvektor har skalärprodukten noll med varje vektor. Men den saknar riktning, så detta fall visar ingen rät vinkel. Vinkelregeln kräver två vektorer som inte är noll.

Prova beräkningen bakom riktningstestet

Spelet frågar efter skalärprodukter av vektorer med små heltal. Ange ett enda tal. Använd tecknet för att tänka på riktningen även om spelet frågar efter beräkningen.

2 minuters övning · fortsätt efter misstag · öppnas i en ny flik

Prova skalärprodukter