SumNinja

Varför tangensgrafer har avbrott

Ca 3 min

Tangens jämför hur långt en riktning går uppåt och åt sidan. Dela höjden med värdet i sidled. Rakt upp ger ingen bredd, så grafen har ett avbrott där.

Tänk dig att du riktar en visare i ett spel. Cirkeln nedan mäter en enhet från mitten till kanten. Spetsens höjd är sinus och värdet i sidled är cosinus. Tangens delar höjden med värdet i sidled. Vrid visaren för att se varför riktningen rakt upp blir ett problem.

Koordinater på en enhetscirkel Radie ett. Höger: 0 grader, koordinater (1, 0). Överst: 90 grader eller pi genom två, koordinater (0, 1). Vänster: 180 grader eller pi, koordinater (-1, 0). Nederst: 270 grader eller tre pi genom två, koordinater (0, -1). Cosinus är den horisontella koordinaten och sinus den vertikala. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blått följer vänster och höger: cosinus. Grönt följer höjden: sinus. Radien är ett. Ett helt varv är 360°, eller 2π radianer.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Följ visaren genom tre riktningar

Läs tangens som höjd ÷ läge i sidled.

  1. Peka vågrätt åt höger

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Spetsen ligger en enhet till höger om mitten och har ingen höjd. Noll delat med ett är noll.

  2. Gör höjden och bredden lika stora

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    Vid 45 grader är de två längderna lika och båda positiva. Lika längder delat med varandra ger ett.

  3. Peka rakt upp

    tan⁡(90∘)=10odefinierad\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{odefinierad}

    Längst upp är läget i sidled noll. Inget tal gånger noll kan ge höjden ett, så denna division saknar svar.

En lodrät riktning skapar ett avbrott

Varje sida om ett avbrott hör till en egen del av kurvan. Dra aldrig en linje över det saknade värdet.

Koppla riktningen till grafen

Grafen visar vinkeln längs den vågräta axeln och tangens längs den lodräta. En vågrät riktning ger (0, 0). Vid 45°, eller π/4 radianer, är värdet ett.

När visaren nästan pekar rakt upp är höjden fortfarande nära ett medan den vågräta längden blir mindre. Division med den mycket lilla längden ger ett stort resultat.

Precis efter rakt upp blir läget i sidled negativt medan höjden förblir positiv. Resultatet blir negativt. Grafen har separata delar med ett avbrott mellan dem. Själva avbrottet är inte oändlighet.

Läs vinkelenheterna

Grader och radianer mäter båda vridningar. Ett helt varv är 360°, eller 2π radianer. Symbolen π är ungefär 3,14. Ett kvarts varv är 90°, eller π/2 radianer. Spelet använder radianer.

Ett halvt varv byter tecken på båda värdena, så kvoten blir densamma. Därför upprepas tangens efter varje 180°, eller π radianer. Avbrotten ligger vid π/2, sedan vid 3π/2 och så vidare.

Prova själv

Räkna ut ett svar och förklara hur du tänkte. Kontrollera sedan förklaringen.

Vrid nedanför den vågräta riktningen

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Peka ett åttondels varv nedanför riktningen åt höger. Vilket värde har tangens där?

Visa svaretDölj svaret
−1-1

Sinus är negativ och cosinus positiv. Deras storlekar är lika, så svaret är −1.

Känn igen ett odefinierat värde

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Vad händer med tangens vid denna vinkel? Förklara varför värdet inte kan vara noll.

Visa svaretDölj svaret
odefinierad\text{odefinierad}

Inget tal gånger noll ger ett, så 1 ÷ 0 saknar svar. Det är varken noll eller oändlighet.

Välj en graf som kan ha avbrott

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Båda går genom noll. Vilken kan visa en lodrät riktning där kvoten är odefinierad?

Graf A

Separata delar har avbrott vid ett kvarts varv och sedan efter varje halvt varv.

Graf B

En sammanhängande våg håller sig mellan minus ett och ett utan avbrott.

Visa svaretDölj svaret
Graf A\text{Graf A}

Graf A har avbrott där värdet i sidled är noll. Graf B håller sig mellan minus ett och ett utan avbrott och kan därför inte vara tangens.

När spelet sträcker grafen

I y = 2tan(x) dubblar du varje höjd på grafen. Avbrotten stannar på samma ställen. Att lägga till ett tal flyttar grafen uppåt eller nedåt. Ett minustecken vänder höjderna men behåller vinklarna för avbrotten.

I y = tan(2x) vrids visaren dubbelt så snabbt. Grafen upprepas efter π/2 i stället för π. Även avbrotten kommer närmare varandra. Kontrollera hela regeln innan du väljer.

Testa idén om avbrotten

Matcha tangensregler med grafer. Leta efter ett känt värde, avbrotten och perioden. Spelet använder radianer.

2 minuters övning · fortsätt efter misstag · öppnas i en ny flik

Prova frågor om tangensgrafer