SumNinja

Förstå sinus och cosinus med en cirkel

Ca 3 min

Sinus följer en punkts höjd runt en cirkel. Cosinus följer dess läge i sidled. Rita värdena under ett varv för att skapa två vågor.

Ett spelljus sveper runt i en cirkel. Du vill följa höjden och skilja de två våggraferna åt. Cirkeln nedan mäter en enhet från mitten till kanten. Spetsens höjd är sinus och dess läge i sidled är cosinus. När visaren vrids ändras båda samtidigt.

Koordinater på en enhetscirkel Radie ett. Höger: 0 grader, koordinater (1, 0). Överst: 90 grader eller pi genom två, koordinater (0, 1). Vänster: 180 grader eller pi, koordinater (-1, 0). Nederst: 270 grader eller tre pi genom två, koordinater (0, -1). Cosinus är den horisontella koordinaten och sinus den vertikala. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blått följer vänster och höger: cosinus. Grönt följer höjden: sinus. Radien är ett. Ett helt varv är 360°, eller 2π radianer.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Sinus: heldragen grön. Cosinus: streckad blå. Läs vinkeln nedtill och cirkelns värde längs sidan.

Följ samma punkt under ett varv

Läs paret som (cosinus, sinus): först sidled, sedan höjd.

  1. Börja längst till höger

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    Spetsen är en enhet till höger om mitten och har ingen höjd. Börja här och vrid sedan moturs.

  2. Vrid ett kvarts varv till toppen

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    Värdet i sidled når noll medan höjden når ett. De två vågmarkörerna visar dessa värden vid samma vinkel.

  3. Vrid ytterligare ett kvarts varv åt vänster

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Till vänster om mitten betyder ett negativt värde i sidled. Höjden är tillbaka på noll. Längst ned blir höjden minus ett.

Se varför vågorna börjar olika

Våggraferna visar vinkeln längs nederkanten och cirkelns värde på höjden. Vid noll börjar den gröna sinusvågen på noll, medan den streckade blå cosinusvågen börjar på ett.

Efter ett kvarts varv når sinus ett medan cosinus når noll. Använd reglaget för att matcha cirkelns två värden med de två markörerna. Ett helt varv för tillbaka punkten och båda vågorna till starten.

Cirkeln har radien ett: avståndet från mitten till kanten är ett. Därför kan varken höjden eller värdet i sidled bli större än ett eller mindre än minus ett. Båda vågorna håller sig inom dessa gränser.

Läs samma vridning i grader eller radianer

Grader och radianer är två vinkelenheter. Ett helt varv är 360°, eller 2π radianer. Symbolen π är ungefär 3,14. Ett halvt varv är π radianer och ett kvarts varv är π/2.

Grafspelet använder radianer. Läs vinkelmarkeringarna innan du jämför en höjd. Värdet på vågen är en position från cirkeln, inte en till vinkel.

Prova själv

Räkna ut ett svar och förklara hur du tänkte. Kontrollera sedan förklaringen.

Läs punkten till vänster

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Vilket värde ger höjden och vilket ger läget i sidled?

Visa svaretDölj svaret
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Cosinus ger värdet i sidled, −1. Sinus ger höjden, noll.

Läs den nedersta punkten

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Vilken höjd når ljuset längst ned i cirkeln?

Visa svaretDölj svaret
−1-1

Punkten ligger en enhet under mitten, så dess sinus är −1.

Välj cosinus bland två vågor

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Kontrollera var ljuset börjar vid vinkeln noll och jämför sedan ett kvarts varv.

Graf A

Vid noll är värdet noll. Efter ett kvarts varv är det ett.

Graf B

Vid noll är värdet ett. Efter ett kvarts varv är det noll.

Visa svaretDölj svaret
Graf B\text{Graf B}

Cosinus börjar på ett och når noll efter ett kvarts varv. Graf B passar. Graf A följer i stället höjden och är därför sinus.

Ändra en vågs höjd eller hastighet

I y = 2sin(x) dubblar du varje höjd. Vågen går från minus två till två och upprepas fortfarande efter 2π. Att lägga till ett flyttar hela vågen en enhet uppåt.

I y = sin(2x) ändras vinkeln dubbelt så snabbt. En hel våg ryms nu inom π radianer. Läs starten, höjden och perioden från hela regeln.

Ett minustecken framför vänder vågen upp och ned: y = −sin(x). Toppar blir dalar. Kontrollera en känd vinkel för att se åt vilket håll den går.

Kan du skilja vågorna åt?

Välj graffrågor om sinus eller cosinus. Kontrollera starten, höjden och perioden. Spelet använder radianer och kan sträcka eller förskjuta grundvågen.

2 minuters övning · fortsätt efter misstag · öppnas i en ny flik

Prova sinusgrafer Prova cosinusgrafer