SumNinja

Используйте скалярное произведение для сравнения направлений

Около 3 мин

Скалярное произведение даёт одно число. Его знак показывает, находится ли цель впереди, сбоку или позади выбранного направления.

Игровая фишка смотрит в направлении (2, 1): две единицы вправо и одна вверх. Цель расположена от неё на (−1, 3): одна единица влево и три вверх. Она впереди или позади? Скалярное произведение превращает два вектора в одно число, знак которого отвечает на этот вопрос.

Сравните положение цели с направлением взгляда

Найдите скалярное произведение (2, 1) и (−1, 3).

  1. Перемножьте соответствующие составляющие

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    Составляющая цели влево действует против направления взгляда вправо. Её составляющая вверх совпадает с направлением взгляда вверх.

  2. Сложите два вклада

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Три перевешивает минус два, поэтому ответ положительный. Результат — скаляр: одно число, а не пара (−2, 3).

  3. Ответьте на вопрос о направлении

    1>0⇒впереди1>0\quad\Rightarrow\quad\text{впереди}

    Цель находится с передней стороны от направления взгляда. «Впереди» не означает строго на той же линии.

На экране цель находится слева, но впереди A

A задаёт направление взгляда, а B — положение цели. Закрашенная половина находится впереди A. Пунктирная граница проходит под прямым углом к A.

Определите переднюю сторону на рисунке

Граница проходит через фишку под прямым углом к направлению её взгляда. Цель на этой линии имеет нулевой вклад вперёд. Цели за пределами линии находятся либо спереди, либо сзади.

Для двух ненулевых векторов положительное скалярное произведение означает угол меньше 90°. Отрицательный результат означает угол больше 90°. Ноль означает прямой угол, то есть векторы перпендикулярны.

Поэтому знак даёт полезную проверку, даже когда цель находится слева на экране. Сравнивайте с направлением взгляда, а не только с положением слева или справа.

Попробуйте сами

Найдите ответ и объясните ход рассуждений. Затем проверьте объяснение.

Найдите прямой угол

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Вычислите результат в виде одного числа. Какое соотношение углов показывает его знак?

Показать ответСкрыть ответ
00

Результаты 2 и −2 в сумме дают ноль, поэтому эти ненулевые векторы образуют прямой угол.

Верните одно число

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Найдите одно число, а не пару. Объясните, почему два произведения нужно объединить.

Показать ответСкрыть ответ
55

Вычислите −1 × 3 + 2 × 4. Получится −3 + 8 = 5.

Используйте результат для решения в игре

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Цель находится впереди, позади или точно сбоку от этого направления взгляда?

Показать ответСкрыть ответ
Позади\text{Позади}

Скалярное произведение равно минус двум. Если фишка смотрит вправо, положение цели слева считается позади. Составляющая вверх не меняет этот знак.

Почему больший результат не означает меньший угол

Если удвоить один вектор, угол останется тем же, а скалярное произведение удвоится. Значит, его величина зависит от обеих длин. Длина единичного вектора равна единице. Используйте единичные векторы, чтобы убрать влияние длины.

Скалярное произведение нулевого вектора с любым вектором равно нулю. Но у него нет направления, поэтому этот случай не означает прямой угол. Правило об угле требует двух ненулевых векторов.

Попробуйте вычисление, лежащее в основе проверки направления

Игра предлагает скалярные произведения небольших векторов с целыми составляющими. Укажите одно число. Используйте его знак, чтобы подумать о направлении, хотя в игре требуется само вычисление.

2 минуты практики · продолжайте после ошибок · откроется новая вкладка

Попробовать скалярные произведения