SumNinja

Użyj iloczynu skalarnego do porównania kierunków

Około 3 min

Iloczyn skalarny daje jedną liczbę. Jej znak mówi, czy cel leży z przodu, z boku, czy z tyłu względem kierunku patrzenia.

Pionek jest zwrócony wzdłuż wektora (2, 1): dwa pola w prawo i jedno w górę. Cel leży względem niego o (−1, 3): jedno pole w lewo i trzy w górę. Czy jest z przodu, czy z tyłu? Iloczyn skalarny zamienia dwa wektory w jedną liczbę, której znak odpowiada na to pytanie.

Porównaj położenie celu z kierunkiem patrzenia

Oblicz iloczyn skalarny (2, 1) i (−1, 3).

  1. Pomnóż odpowiadające sobie części

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    Skierowana w lewo część położenia celu działa przeciwnie do skierowanej w prawo części kierunku patrzenia. Skierowana w górę część celu działa zgodnie z częścią kierunku skierowaną w górę.

  2. Dodaj oba wkłady

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Trzy przeważa nad minus dwa, więc wynik jest dodatni. Wynik jest skalarem: jedną liczbą, a nie parą (−2, 3).

  3. Odpowiedz na pytanie o kierunek

    1>0⇒z przodu1>0\quad\Rightarrow\quad\text{z przodu}

    Cel leży po przedniej stronie kierunku patrzenia. Z przodu nie oznacza dokładnie na tej samej prostej.

Cel znajduje się po lewej stronie ekranu, ale przed A

A wskazuje kierunek patrzenia, a B położenie celu. Zacieniowana połowa leży przed A. Przerywana granica jest prostopadła do A.

Odczytaj przednią stronę ilustracji

Granica przechodzi przez pionek pod kątem prostym do kierunku jego patrzenia. Cel na tej linii ma zerowy wkład do przodu. Cele poza linią leżą po stronie przedniej albo tylnej.

Dla dwóch niezerowych wektorów dodatni iloczyn skalarny oznacza kąt mniejszy niż 90°. Ujemny wynik oznacza kąt większy niż 90°. Zero oznacza kąt prosty, nazywany też prostopadłym.

Znak daje więc przydatny test nawet wtedy, gdy cel znajduje się po lewej stronie ekranu. Porównuj go z kierunkiem patrzenia, a nie tylko z lewą i prawą stroną.

Spróbuj samodzielnie

Oblicz odpowiedź i wyjaśnij swój tok rozumowania. Następnie sprawdź wyjaśnienie.

Wykryj kąt prosty

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Oblicz wynik będący jedną liczbą. Jaką zależność między kątami ujawnia jego znak?

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
00

Wyniki 2 i −2 sumują się do zera, więc te niezerowe wektory tworzą kąt prosty.

Zwróć jedną liczbę

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Znajdź jedną liczbę zamiast pary. Wyjaśnij, dlaczego oba iloczyny trzeba połączyć.

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
55

Oblicz −1 × 3 + 2 × 4. Otrzymasz −3 + 8 = 5.

Użyj wyniku do podjęcia decyzji w grze

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Czy cel jest z przodu, z tyłu, czy dokładnie z boku względem tego kierunku patrzenia?

Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
Z tyłu\text{Z tyłu}

Iloczyn skalarny wynosi minus dwa. Gdy pionek jest zwrócony w prawo, położenie celu w lewo liczy się jako z tyłu. Jego część skierowana w górę nie zmienia tego znaku.

Dlaczego duży wynik nie oznacza mniejszego kąta

Kąt pozostaje taki sam, gdy podwoisz jeden wektor, ale iloczyn skalarny się podwaja. Wartość zależy więc od obu długości. Wektor jednostkowy ma długość jeden. Używaj wektorów jednostkowych, aby usunąć wpływ długości.

Wektor zerowy daje iloczyn skalarny równy zero z każdym wektorem. Nie ma jednak kierunku, więc ten przypadek nie oznacza kąta prostego. Reguła dotycząca kąta wymaga dwóch niezerowych wektorów.

Wypróbuj obliczenie stojące za testem kierunku

Gra prosi o iloczyny skalarne małych wektorów całkowitych. Podaj jedną liczbę. Użyj jej znaku, aby pomyśleć o kierunku, nawet jeśli gra pyta tylko o obliczenie.

2 minuty ćwiczeń · kontynuuj po błędach · otwiera nową kartę

Wypróbuj iloczyny skalarne