SumNinja

Bruk et skalarprodukt til å sammenligne retninger

Ca. 3 min

Et skalarprodukt gir ett tall. Fortegnet viser om et mål ligger foran, til siden for eller bak en bestemt retning.

En spillebrikke vender i retning (2, 1): to mot høyre og én opp. Et mål ligger (−1, 3) fra den: én mot venstre og tre opp. Er målet foran eller bak? Et skalarprodukt gjør de to vektorene om til ett tall der fortegnet svarer på spørsmålet.

Sammenlign målet med retningen brikken vender

Finn skalarproduktet av (2, 1) og (−1, 3).

  1. Gang de tilhørende delene

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    Målets del mot venstre virker mot delen som vender mot høyre. Delen oppover virker sammen med delen som vender oppover.

  2. Legg sammen de to bidragene

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Tre veier opp for minus to, slik at svaret blir positivt. Resultatet er en skalar: ett tall, ikke paret (−2, 3).

  3. Svar på spørsmålet om retning

    1>0⇒foran1>0\quad\Rightarrow\quad\text{foran}

    Målet ligger på fremsiden av retningen brikken vender. Foran betyr ikke at målet ligger direkte på den samme linjen.

Målet ligger til venstre på skjermen, men foran A

A angir retningen brikken vender, og B angir målet. Den skraverte halvdelen ligger foran A. Den stiplede grensen står vinkelrett på A.

Les fremsiden i bildet

Grensen krysser brikken i en rett vinkel på retningen den vender. Et mål på denne linjen har et bidrag fremover på null. Mål på den andre siden av linjen ligger enten foran eller bak.

For to vektorer som ikke er null, betyr et positivt skalarprodukt en vinkel under 90°. Et negativt resultat betyr en vinkel over 90°. Null betyr en rett vinkel, også kalt vinkelrett.

Fortegnet gir derfor en nyttig test selv når målet ligger til venstre på skjermen. Sammenlign med retningen brikken vender, ikke bare venstre mot høyre.

Prøv selv

Finn et svar og forklar hvordan du tenkte. Sjekk deretter forklaringen.

Finn en rett vinkel

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Regn ut resultatet med ett tall. Hvilket vinkelforhold viser fortegnet?

Vis svaretSkjul svaret
00

Resultatene 2 og −2 blir null til sammen, så disse vektorene som ikke er null, møtes i en rett vinkel.

Gi ett tall som svar

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Finn det ene tallet, ikke et par. Forklar hvorfor de to produktene må kombineres.

Vis svaretSkjul svaret
55

Regn ut −1 × 3 + 2 × 4. Det gir −3 + 8 = 5.

Bruk resultatet til en avgjørelse i spillet

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Ligger målet foran, bak eller nøyaktig til siden for retningen brikken vender?

Vis svaretSkjul svaret
Bak\text{Bak}

Skalarproduktet er minus to. Når brikken vender mot høyre, teller målets plassering mot venstre som bak. Delen oppover endrer ikke dette fortegnet.

Hvorfor et stort resultat ikke betyr en mindre vinkel

Vinkelen forblir den samme når du dobler én vektor, men skalarproduktet dobles. Verdien avhenger derfor av begge lengdene. En enhetsvektor har lengden én. Bruk enhetsvektorer for å fjerne virkningen av lengden.

En nullvektor gir et skalarprodukt på null med alle vektorer. Men den har ingen retning, så dette tilfellet viser ikke en rett vinkel. Vinkelregelen krever to vektorer som ikke er null.

Prøv utregningen bak retningstesten

Spillet spør etter skalarprodukter av små heltallsvektorer. Oppgi ett tall. Bruk fortegnet til å tenke på retningen, selv om spillet spør etter utregningen.

2 minutters øvelse · fortsett etter feil · åpnes i en ny fane

Prøv skalarprodukter