SumNinja

Hvorfor tangensgrafer har brudd

Ca. 4 min

Tangens sammenligner hvor langt en retning går oppover og bortover. Del høyden på venstre–høyre- verdien. En retning rett opp har ingen bredde, så grafen får et brudd.

Tenk deg at du sikter med en viser i et spill. Sirkelen nedenfor måler én enhet fra sentrum til kanten. Høyden til spissen er sinus, og venstre–høyre-verdien er cosinus. Tangens deler høyden på denne venstre–høyre-verdien. Drei viseren for å se hvorfor det skaper problemer å sikte rett opp.

Koordinater på en enhetssirkel Radius én. Høyre: 0 grader, koordinater (1, 0). Topp: 90 grader eller pi delt på to, koordinater (0, 1). Venstre: 180 grader eller pi, koordinater (-1, 0). Bunn: 270 grader eller tre pi delt på to, koordinater (0, -1). Cosinus er den vannrette koordinaten, og sinus er den loddrette. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blått følger venstre og høyre: cosinus. Grønt følger høyden: sinus. Radiusen er én. En hel omdreining er 360°, eller 2π radianer.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Følg viseren gjennom tre retninger

Les tangens som høyde ÷ plassering sideveis.

  1. Sikt vannrett mot høyre

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Spissen ligger én enhet til høyre for sentrum, uten høyde. Null delt på én blir null.

  2. Gjør høyden og bredden like store

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    Ved 45 grader er de to lengdene like store, og begge er positive. Like lengder delt på hverandre blir én.

  3. Sikt rett opp

    tan⁡(90∘)=10udefinert\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{udefinert}

    På toppen er plasseringen sideveis null. Ingen tall ganget med null kan gi en høyde på én, så denne divisjonen har ikke noe svar.

En loddrett retning lager et brudd

Hver side av et brudd tilhører sin egen del av kurven. Trekk aldri en linje over den manglende verdien.

Knytt retningen til grafen

Grafen har vinkelen langs bunnen og tangens oppover langs siden. En vannrett retning gir (0, 0). Ved 45°, eller π/4 radianer, er verdien én.

Når viseren nærmer seg rett opp, holder høyden seg nær én, mens lengden sideveis krymper. Når du deler på denne svært lille lengden, blir resultatet stort.

Rett etter at viseren har passert rett opp, blir plasseringen sideveis negativ, mens høyden forblir positiv. Resultatet blir negativt. Grafen har separate deler med et brudd mellom dem. Selve bruddet er ikke uendelig.

Les vinkelmerkene

Både grader og radianer måler omdreininger. En hel omdreining er 360°, eller 2π radianer. Symbolet π er omtrent 3,14. En firedels omdreining er 90°, eller π/2 radianer. Spillet bruker radianer.

En halv omdreining snur begge fortegnene, slik at forholdet forblir det samme. Derfor gjentar tangens seg hver 180°, eller π radianer. Bruddene ligger ved π/2, deretter 3π/2 og så videre.

Prøv selv

Finn et svar og forklar hvordan du tenkte. Sjekk deretter forklaringen.

Drei under den vannrette retningen

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Sikt en åttedels omdreining under retningen mot høyre. Hvilken verdi har tangens der?

Vis svaretSkjul svaret
−1-1

Sinus er negativ, og cosinus er positiv. De er like store, så svaret er −1.

Finn en udefinert verdi

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Hva skjer med tangens ved denne vinkelen? Forklar hvorfor verdien ikke kan være null.

Vis svaretSkjul svaret
udefinert\text{udefinert}

Ingen tall ganget med null gir én, så 1 ÷ 0 har ikke noe svar. Det er verken null eller uendelig.

Velg en graf som kan ha brudd

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Begge går gjennom null. Hvilken kan vise en loddrett retning uten et definert forhold?

Graf A

Separate deler har brudd ved en firedels omdreining og deretter for hver halve omdreining.

Graf B

Én jevn bølge holder seg mellom minus én og én uten brudd.

Vis svaretSkjul svaret
Graf A\text{Graf A}

Graf A har brudd der venstre–høyre-verdien er null. Graf B holder seg mellom minus én og én uten brudd, så den kan ikke være tangens.

Når spillet strekker grafen

I y = 2tan(x) dobler du hver høyde på grafen. Bruddene blir på samme sted. Hvis du legger til et tall, flyttes grafen opp eller ned. Et minustegn speiler høydene, men lar vinklene til bruddene være uendret.

I y = tan(2x) dreier viseren dobbelt så raskt. Grafen gjentar seg etter π/2 i stedet for π. Bruddene kommer også nærmere hverandre. Sjekk hele regelen før du velger.

Sett ideen om brudd på prøve

Koble tangensregler til grafer. Se etter en kjent verdi, bruddene og avstanden før formen gjentar seg. Spillet bruker radianer.

2 minutters øvelse · fortsett etter feil · åpnes i en ny fane

Prøv oppgaver med tangensgrafer