SumNinja

Forstå sinus og cosinus med én sirkel

Ca. 4 min

Sinus følger høyden til et punkt rundt en sirkel. Cosinus følger verdien fra venstre mot høyre. Tegn disse verdiene gjennom en omdreining for å lage to bølger.

Et lys i et spill beveger seg i en sirkel. Du vil følge høyden og skille de to bølgegrafene fra hverandre. Sirkelen nedenfor måler én enhet fra sentrum til kanten. Høyden til spissen er sinus, og verdien fra venstre mot høyre er cosinus. Når viseren dreies, endres begge samtidig.

Koordinater på en enhetssirkel Radius én. Høyre: 0 grader, koordinater (1, 0). Topp: 90 grader eller pi delt på to, koordinater (0, 1). Venstre: 180 grader eller pi, koordinater (-1, 0). Bunn: 270 grader eller tre pi delt på to, koordinater (0, -1). Cosinus er den vannrette koordinaten, og sinus er den loddrette. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blått følger venstre og høyre: cosinus. Grønt følger høyden: sinus. Radiusen er én. En hel omdreining er 360°, eller 2π radianer.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Sinus: heltrukket grønn. Cosinus: stiplet blå. Les vinkelen nederst og sirkelverdien langs siden.

Følg det samme punktet gjennom en omdreining

Les paret som (cosinus, sinus): venstre–høyre først, deretter høyde.

  1. Start lengst til høyre

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    Spissen er én enhet til høyre for sentrum og har ingen høyde. Start her, og drei deretter mot klokken.

  2. Drei en firedels omdreining til toppen

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    Verdien sideveis når null, mens høyden når én. De to markørene på bølgene viser disse verdiene ved den samme vinkelen.

  3. Drei enda en firedel mot venstre

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Til venstre for sentrum betyr en negativ venstre–høyre-verdi. Høyden er tilbake på null. Ved bunnen blir høyden minus én.

Se hvorfor bølgene starter forskjellig

Bølgegrafene har vinkelen langs bunnen og sirkelens verdi oppover langs siden. Ved null starter den grønne sinusbølgen på null, mens den stiplede blå cosinusbølgen starter på én.

Etter en firedels omdreining når sinus én, mens cosinus når null. Bruk kontrollen til å koble sirkelens to verdier til de to markørene. Etter en hel omdreining er punktet og begge bølgene tilbake ved starten.

Sirkelen har radius én: Avstanden fra sentrum til kanten er én. Derfor kan verken høyden eller venstre–høyre-verdien bli større enn én eller mindre enn minus én. Begge bølgene holder seg mellom disse grensene.

Les den samme omdreiningen i grader eller radianer

Grader og radianer er to vinkelenheter. En hel omdreining er 360°, eller 2π radianer. Symbolet π er omtrent 3,14. En halv omdreining er π radianer, og en firedels omdreining er π/2.

Grafspillet bruker radianer. Les vinkelmerkene før du sammenligner en høyde. Verdien på bølgen er en plassering fra sirkelen, ikke en ny vinkel.

Prøv selv

Finn et svar og forklar hvordan du tenkte. Sjekk deretter forklaringen.

Les punktet til venstre

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Hvilken verdi angir høyden, og hvilken angir plasseringen fra venstre mot høyre?

Vis svaretSkjul svaret
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Cosinus angir venstre–høyre-verdien, −1. Sinus angir høyden, null.

Les punktet nederst

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Hvilken høyde når lyset nederst i sirkelen?

Vis svaretSkjul svaret
−1-1

Punktet ligger én enhet under sentrum, så sinusverdien er −1.

Velg cosinus mellom to bølger

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Sjekk hvor lyset starter ved vinkelen null, og sammenlign deretter med en firedels omdreining.

Graf A

Ved null er verdien null. Etter en firedels omdreining er den én.

Graf B

Ved null er verdien én. Etter en firedels omdreining er den null.

Vis svaretSkjul svaret
Graf B\text{Graf B}

Cosinus starter på én og når null etter en firedels omdreining. Graf B passer. Graf A følger høyden i stedet, så den er sinus.

Endre høyden eller farten til en bølge

I y = 2sin(x) dobler du hver høyde. Bølgen går fra minus to til to og gjentar seg fortsatt etter 2π. Hvis du legger til én, flyttes hele bølgen én opp.

I y = sin(2x) endres vinkelen dobbelt så raskt. Nå får én hel bølge plass innenfor π radianer. Les startverdien, høyden og gjentakelseslengden fra hele regelen.

Et minustegn foran snur en bølge opp ned: y = −sin(x). Toppene blir bunner. Sjekk en kjent vinkel for å se hvilken vei bølgen går.

Klarer du å skille bølgene fra hverandre?

Velg oppgaver med sinus- eller cosinusgrafer. Sjekk startverdien, høyden og gjentakelseslengden. Spillet bruker radianer og kan strekke eller forskyve grunnbølgen.

2 minutters øvelse · fortsett etter feil · åpnes i en ny fane

Prøv sinusgrafer Prøv cosinusgrafer